|
|
От
|
Alexandre Putt
|
|
|
К
|
Мигель
|
|
|
Дата
|
07.02.2007 00:25:59
|
|
|
Рубрики
|
Модернизация; Хозяйство; Теоремы, доктрины;
|
|
Небрежное опровержение горькой теоремы
0. Обозначения
MU[D] функция предельной полезности в Давилоне
MU[C] функция предельной полезности в Сан-Комарике
N население
ND население Давилона
NC население Сан-Комарика
t = ND / NC
I уровень инфраструктуры в Давилоне
1. В формулировке модели не содержится условие, позволяющее её решить, а именно нормализация уровня населения. Конкретно, из условия оптимизации распределения населения
MU[D] / ND = MU[C] / NC (*)
которое даёт одно уравнение в двух неизвестных невозможно определить ни ND, ни NC. Поэтому я подразумеваю, что общее население страны дано и фиксировано на уровне N, ND + NC = N
2. Также утверждение автора, что оптимальный уровень населения соответствует точке максимума графика MU не обосновано. На самом деле оно может быть совершенно произвольным и определяется только из уравнения (*). В стране просто не может быть достаточно населения (или даже быть избыток), чтобы такая точка была достигнута.
3. Функция предельной полезности в общем виде MU = MU( t, I )
Дифференцируем:
dMU/dI = ∂MU/∂t * ∂t/∂I + ∂MU/∂I
Справа: последний член положителен в некотором интервале (инфраструктура увеличивает полезность по крайней мере на определенном промежутке)
Знак ∂t/∂I положителен, если немного подумать "вообще". Можно просто доказать:
∂t/∂I = ∂/∂I (ND / NC) = ∂/∂I (MU[D]/MU[C]) = ∂/∂I MU[D] / MU[C]
Пока не ясен знак ∂MU/∂t
4. Нас интересует изменение в средней предельной полезности (автор утверждает, что оно упадет в обоих городах при dI > 0)
Для этого надо определить dMU/dI / dND/dI
dND/dI = N ∂/∂I (t/t+1) = ∂t/∂I / (t+1)**2
Т.е. абсолютное население Давилона растёт
5. Рассмотрим [ ∂MU/∂t * ∂t/∂I ] / dND/dI =
= ∂MU/∂t * (t+1)**2
Допустим, это выражение может быть как положительным, так и отрицательным. Вопрос в том, будет ли оно больше, чем ∂MU/∂I / dND/dI.
6. А прирори нет оснований так считать. Может быть больше, может быть меньше. Вот результаты простого эксперимента.
Возьмем такие функции полезности, почти соответствующие тем, что у автора:
MU[D] = - (ND - OD)**2 + ID
MU[C] = - (NC - OC)**2 + CD
где
OD = 1
OC = 0.5
ID = 100
IC = 15
N = 10
Получаем решение
Давилон Сан-Комарик
население 8 2
MU 51 12.75
AMU 6.4 6.4
AMU - средняя преедльная полезность
Теперь улучшим инфраструктуру Давилона на 10 ед., ID = 110
Получаем примерное решение
Давилон Сан-Комарик
население 8.16 1.84
MU 58.7 13.20
AMU 7.19 7.17
Как видно, для обоих городов улучшилось благосостояние во всех смыслах (в том числе в среднем, вопреки заявлениям автора). Можно поэкспериментировать и с функциями автора, они практически идентичны. Даже если для класса функций автора наблюдение не выполняется (это сомнительно), приведенные сведения ставят под сомнение достоверность теоремы.