10. В формулировке опровержения есть некоторые оплошности :) Впрочем, общий ход рассуждений остаётся в силе: есть два эффекта, положительный, от улучшения инфраструктуры, и отрицательный, от перераспределения населения.
Ещё раз формулируем проблему, на этот раз правильно:
max W = Ud + Uc s.t. Ud/Nd - Uc/Nc = 0, Nd+Nc = N
или
max W = Ud(t,I) + Uc(t) s.t. Ud (t+1)/tN - Uc (t+1)/N
ограничение проблемы задаёт равенство средних полезностей в городах.
Имеем на выходе функцию благосостояния W* = W* (t,I)
11. Из ограничения получаем выражение для t:
t = Ud/Uc
12. Эффект от изменения инфраструктуры I на благосостояние (* опускаю):
Знак может быть положительным или отрицательным (в последнем случае избыток населения в каком-то городе/ах создаёт отрицательную полезность)
14. Proposition. Достаточное условие для ∂W/∂I > 0 заключается в следующем:
Uc + (1+t) U'c > 0
Доказательство: ∂W/∂I = ∂Ud/∂I - l (∂Ud/∂I (t+1)/tN), где
l - мультипликатор Лагранжа
Отсюда надо l < 0, для чего необходимое условие U'd + U'c > 0. (Кроме того, у нас l <> 0, что также можно установить)
Значит, если Давилон "недозаселён" больше, чем "недозаселён" Сан-Комарик, то это условие выполняется.
15. Следовательно, при U'd + U'c > 0 горькая теорема не выполняется никогда. Эта ситуация возникнет, но не только, если в обоих городах полезность растёт с ростом населения (незаселённость).
Если же U'd + U'c < 0, то на данный момент нельзя сделать однозначный вывод, нужно определять взаимопогашение эффектов улучшения инфраструктуры и "перенаселённости".
