Я уже ответил в той ветке.
По "Gesta Francorum" отряд Боэмунда шел по горам всю ночь, чтобы подойти к тем трем башням, так что проникли в город они под утро, т.е., строго говоря, 3-го июня. "All das ereignete sich am dritten Juni, welcher ein Donnerstag war".
Не знаю, как с арабскими летописями, но западные содержат множество точных дат, перенос взятия Антиохии на месяц не впишется в систему.