|
|
От
|
Пуденко Сергей
|
|
|
К
|
All
|
|
|
Дата
|
27.05.2008 22:55:33
|
|
|
Рубрики
|
Прочее; Наука & природа;
|
|
Бесконечное@вечное. Пора брать быка за рога. Оконечить
В копилке статья Даффи
это сжатое изложение "математических глав" его книги "Логика выражения"
еще одна выдержка из книжки Даффи - в копилке с января
...
Although it is only later in the development of the infinitesimal calculus that the tangent comes to be considered as a limit, and that the differential relation is used to calculate 'limits,' Deleuze contends that the maximum and minimum illustrated in Spinoza's geometrical example are suggestive of such limits. He introduces the concepts of the differential relation and limits into his interpretation not only of Letter XII, but also into his interpretation of the physics of bodies presented in the second part of the Ethics.
solution can be determined from the differential point of view of the infinitesimal calculus by considering integration as a process of summation in the form of a series, according to which, given the specific qualitative nature of a tangent at a point, the problem becomes that of finding, not just one other point determinative of the differential relation, but a sequence of points, all of which together satisfy, or generate, a curve and therefore a function in the neighbourhood of the given point of tangency, which therefore functions as the limit of the function.
Deleuze considers this to be the base of the infinitesimal calculus as
understood or interpreted in the seventeenth century. The formula for the
problem of the infinite that Deleuze extracts from the geometrical example of
Letter XII, by means of this seventeenth-century understanding of the
infinitesimal calculus, is that "something finite consists of an infinity under a
certain relation". Deleuze considers this formula to mark "an equilibrium
point, for seventeenth-century thought, between the infinite and the finite, by
means of a new theory of relations" (17.2.81).
By implicating Leibniz's understanding of the early form of the
infinitesimal calculus in his interpretation of the geometrical example of
Spinoza's Letter XII, Deleuze not only demonstrates how Spinoza eludes the
grasp of the dialectical progression of the history of philosophy, but also
nominates Leibniz as one of the figures with whom he engages in his project
of renewing the history of philosophy by constructing an alternative lineage in
the history of philosophy. Deleuze reads Spinoza's geometrical example as
providing an example of what had already been established by the
infinitesimal calculus in response to the problem of the infinite. He considers
seventeenth century thought, and this includes Spinoza, to have developed a
new theory of relations by means of the infinitesimal calculus, one which is
determined according to the differential point of view of the infinitesimal
calculus. The infinitesimal calculus puts into playa certain type of relation for
Deleuze -the differential relation -which is characteristic of the
compositional relations between individuals. It is by exploiting the
implications of the differential point of view of the infinitesimal calculus in his
interpretation of the physics of bodies in the second part of the Ethics, that
Deleuze determines the logic that is mobilised in his reading of the system of
the Ethics as a whole. This strategy of reading the Ethics marks not only the
originality of Deleuze's interpretation of Spinoza, but also one of the points
where Deleuze can be considered to depart from the Cartesian and Hegelian
Spinoza familiar to scholars working in the field of Spinoza studies by tracing
аn alternative lineage in the history of philosophy between Spinoza's ontology and the mathematics of Leibniz.
....
Скандал ( а как же иначе без визажистов") вокруг бесконечного
"Infinitum Actu Non Datur"
К Аристотелю восходит традиция разделения бесконечности на актуальную и потенциальную- "Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование... Актуально бесконечное не существует" (Аристотель, "Физика"). Эта традиция продолжалась Декартом ("Бесконечностьраспознаваема, но не познаваема") и даже во времена К.Гаусса ("В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность — не более чем fa?on de parle /манера выражаться — С.С /, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают"). К., как писал М.Клайн, отошел от давней традиции "уже тем, что рассматривал бесконечные множества как единые сущности, притом сущности, доступные человеческому разуму". Резко расходясь со своими коллегами-математиками во взглядах на математическую бесконечность, К. мотивировал необходимость введения актуально бесконечных множеств
http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html
http://posp.raai.org/data/posp2005/Zenkin/zenkin.html
Число ученых, отвергавших концепцию актуальной бесконечности (АБ) и основанную на этой концепции теорию множеств Г.Кантора, - равно как и современную АТМ, - "было всегда невелико. Удивительнее всего то, что находясь в относительной изоляции, они высказывали полнейшую убежденность в окончательной победе занимаемой ими позиции"
СПИСОК-1. ПРОТИВНИКИ АБ "ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ":
Аристотель, Евклид, Фома Аквинский, Лейбниц, Беркли, Локк, Декарт, Кант, Спиноза, Лагранж, Гаусс, Кронекер, Лобачевский, Коши, Ф.Клейн, Эрмит, Пуанкаре, Бэр, Борель, Лебег, Брауэр, Куайн, Виттгенштейн, Вейль, Лузин, и уже в наши дни - Эррет Бишоп, Соломон Феферман, Ярослав Перегрин, Владимир Турчин, Петр Вопенка и многие другие выдающиеся творцы классической логики и классической математики.
Следует подчеркнуть, что начиная с Кронекера, т.е. примерно с 70-х г.г. XIX века, протест против использования понятия АБ в математике как понятия внутренне противоречивого принял форму резко негативного отношения к теории множеств Георга Кантора, основанной на алгоритмическом использовании концепции АБ. Тот же протест и на том же основании относится и к основаниям современной АТМ.
http://alexzen.by.ru/
ТРЕБУЕТСЯ КОНТР-КАНТОР-РЕВОЛЮЦИЯ!
Многие, конечно, слышали и помнят о революционных открытиях в математике, например, аксиоматика того же Евклида, или открытие дифференциального и интегрального исчислений Ньютоном и Лейбницем, или, наконец, недавнее решение знаменитой проблемы Ферма. Известны также историко-революционные потрясения и противоположного типа - великие кризисы в основаниях математики, связанные с открытием иррациональных чисел, бесконечно-малых и знаменитых парадоксов теории множеств. "Но чтобы контрреволюция! И где? В математике?!" - удивятся многие.
Что есть общего между великими кризисами в основаниях математики, хотя их и разделяют тысячелетия? Если быть кратким, то - неистребимое стремление математиков понять сущность бесконечного. Хочу сразу же заметить, что раньше все математики, так или иначе вовлеченные в эти кризисы, были одновременно и выдающимися философами. Но, как утверждают ученые богословы, Бесконечное есть атрибут Божий, а для конечного человека посягательство на "святыни" всегда чревато небезопасными последствиями.
Что послужило поводом и началом Третьего кризиса оснований математики? Дерзкая попытка в то время мало кому известного немецкого математика Георга Кантора актуализировать (по-русски - оконечить) Бесконечное.
Напомню, что со времен Аристотеля различают два контрадикторных (т.е., взаимоисключающих) понятия Бесконечного. А именно, если вы начинаете считать:
1, 2, 3,... (1),
и утверждаете, что закончить этот процесс невозможно в принципе, то такой тип "отсутствия конца" у ряда (1) называется его потенциальной бесконечностью. Если же вы согласны с тем, что ряд (1) не имеет последнего, наибольшего элемента, но тем не менее, следуя Кантору, полагаете, что, как бы это ни показалось противоречивым, - нет ничего нелепого в том, чтобы обозначить ("вообразить себе" - в канторовском оригинале) этот ряд (1) неким символом, например, греческим символом w (омега), назвать этот символ целым числом и, перепрыгнув через потенциальную бесконечность ряда (1), продолжить счет далее:
w, w + 1, w + 2, w + 3, и т.д., (2),
то такое весьма вольное обращение с рядом (1) называется его актуализацией, а его бесконечность "становится" завершенной (?!), законченной (?!) или актуальной бесконечностью.
Как известно, еще великий Аристотель предостерегал: "Infinitum Actu Non Datur", что эквивалентно российскому утверждению: "Понятие актуальной бесконечности является внутренне противоречивым", а потому его использование в науке - недопустимо. Как показала весьма продолжительная, почти 2200-летняя историческая практика, в вопросах "высшего логического и философского порядка" Аристотелю не только можно, но и нужно верить!
Однако в самом конце XIX века нашлись некоторые, довольно известные в то время, математики, которые приняли приведенное выше почти дословно и с математической точки зрения - вопиюще наивное рассуждение Георга Кантора (в котором "желаемого" гораздо больше, чем "действительного") за строгое математическое "доказательство" правомерности введения в математику актуально-бесконечных множеств. Начался триумфальный процесс "всеобщей актуализации" бесконечных множеств в математике.
ПАТОЛОГИЧЕСКИЙ КАЗУС
Однако трагические последствия такого, довольно скоропостижного шага не замедлили сказаться. Вначале сам Кантор (1893 г.), а вскоре Бертран Рассел (1902 г.) открывают целую серию парадоксов (т. е. неразрешимых противоречий), связанных именно с актуализацией бесконечных множеств. Начался Третий Великий кризис оснований математики, который, по мнению многих известных математиков и философов, "продолжается и по сей день".
Еще один, уже чисто психологический, казус состоит в том, что открытие любого подобного противоречия в любой другой науке означало бы ее полную дискредитацию и немедленное закрытие "на все времена". Однако целая плеяда выдающихся математиков и философов первой половины двадцатого века (таких, как Рассел, Гильберт, Брауэр и др.) посвятили всю свою жизнь "спасению" канторовской теории множеств, а следовательно, его идеи актуализации бесконечности. Жертвуя при этом солидными "кусками" здорового тела математической науки: Рассел, например, принес в жертву актуальной бесконечности самоприменимость математических понятий; Брауэр - фундаментальнейший закон логики - закон исключенного третьего; а Гильберт в своей знаменитой программе формализации всей математики фактически призывал вообще отказаться от семантики, то есть от содержательного смысла, математических конструкций. Другими словами, от всякой связи математических теорий с физическим миром.
Уж очень смелой и заманчивой представлялась для многих идея выйти "в открытый Космос" трансфинитного канторовского "зазеркалья", за границы обычных конечных натуральных чисел, которые, по очень глубокому замечанию Леопольда Кронекера, "создал Господь Бог". Я думаю, ближе всех к рациональному объяснению столь нетрадиционного для классической математики "поведения" оказался Брауэр, который в конечном счете был вынужден "диагностировать" всю канторовскую теорию в целом как "патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения математиков просто придут в ужас".
Однако несомненная историческая заслуга Кантора состоит в том, что он первый от спекулятивных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее практическому, логико-математическиму употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа.
АКУПУНКТУРА МЕТА-МАТЕМАТИКИ
С чего же следует начинать такой анализ? Вспомним, что уже наши далекие предки в совершенстве владели таким уникальным и эффективным терапевтическим методом, который сегодня называется методом акупунктуры. Суть этого метода, как известно, заключается в практическом использовании следующего универсального, почти кибернетического принципа. А именно: в любой сложной системе (например, в человеке или социуме) имеются так называемые узкие места, или аттракторы, или акупунктурные точки, обладающие тем уникальным свойством, что даже самые слабые воздейстия на них способны вызывать существенные, а нередко (при неквалифицированном вмешательстве) и катастрофические изменения в состоянии и поведении всей сложной системы (живой, технической, финансовой, социальной, политической и т.д.) в целом.
Вот этим древним методом мы и воспользуемся. Что является акупунктурной точкой современной метаматематики? Несомненно - знаменитая теорема Георга Кантора о несчетности множества всех действительных чисел. Эта теорема является единственным "легитимным" поводом, который позволяет современным метаматематикам глубокомысленно вещать о существенном различии бесконечных множеств по их мощности, то есть по количеству содержащихся в них элементов (а всем остальным, реально "практикующим" математикам - покорно внимать и не менее глубокомысленно поддакивать). Уберите-запретите всего лишь одну эту теорему Кантора, и разговор о различении бесконечностей станет беспредметным, а сама метаматематика потеряет всякую привлекательность даже для своих собственных, самых "отпетых" приверженцев.
Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы.
Как известно, Кантор доказал свою теорему в 91-м году уже почти позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая логика и аксиоматическая теория множеств ничего нового к этому доказательству не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня. Однако сами-то эти направления оформились как самостоятельные дисциплины примерно в 30-х годах уже XX века, то есть почти через полвека после того, как Кантор доказал свою теорему! Следовательно, и сама эта теорема, и ее доказательство не имеют никакого отношения к устрашающим образом "бурбакизированным" способам "рассуждений", практикуемых сегодня в рамках упомянутых дисциплин.
Остается подозрение, что доказательство теоремы Кантора представляет собой чисто математическое, но ужасно сложное сочинение, которое доступно далеко не каждому обладателю красного математического диплома. Увы, в действительности, не у всякого профессионального математика повернется язык назвать математической работу, в которой, как, например, в теореме Кантора, используются всего лишь три понятия элементарной (школьной, то есть доступной каждому образованному гуманитарию) математики - понятия натурального числа, действительного числа и последовательности таких чисел.
Что же остается? Может быть канторовское доказательство представляет собой трактат аж на 100 страниц, как, например, решение знаменитой математической проблемы четырех красок? Или на 1000 страницах, как знаменитое доказательство Великой теоремы Ферма, недавно анонсированное американским математиком Вайлсом? Ничего подобного! Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего... 10 строчек! Я не оговорился, всего десять строчек, написанных на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!
Я полагаю, что Брауэр немного не закончил свою мысль (см. выше): действительно, "грядущие поколения придут в ужас".., но только от "смущения" за своих математических предшественников, которые под гипнозом этих, всего-то десяти строчек, на целых сто лет и добровольно передали свою, по Гауссу, "королеву всех наук" в услужение коварному "бурбакизму"... Прямо-таки, сказочно-научно-фантастический триллер.
ДЕСЯТЬ СТРОЧЕК, КОТОРЫЕ ПОТРЯСЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР!
Невозможно поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного доказательства, два десятка поколений профессиональных математиков не смогли отделить "семена от плевел"!
Увы, речь-то идет не о простом историческом недоразумении, а, согласно Брауэру, о "патологическом казусе" в истории математики. Думаю, не последнюю роль здесь сыграл доведенный до абсурда, особенно в ХХ веке, пиетет перед так называемым профессионализмом. Вплоть до того, что "дважды два" - это моя "территория", где я говорю на своем языке, а "трижды три" - чужая "епархия", где говорят на другом языке, и в ней мне уже "не должно сметь свое суждение иметь". Как ни странно, эта опасная болезнь является прямым - сегодня уже социальным - следствием Великой Промышленной революции последних трех столетий и... современного "бурбакизма".
Один великий ученый открывает совершенно абстрактную формулу E=mс2, другой великий ученый открывает новый химический элемент U-238, третий, талантливый инженер, изобретает технологию обогащения урана и производит из него A-Bomb, четвертый, политик, принимает решение использовать эту A-Bomb в самых "высоких и гуманных" целях, пятый, пилот-исполнитель, доставляет этого "Малыша" куда надо и делает с ним то, что приказано. "Гуманитарные" последствия такого "подарка" напоминают о себе до сих пор. Кто виноват? Вопрос, на который не существует ответа! Так, один из величайших факторов промышленного прогресса - принцип разделения труда ради повышения его эффективности "во благо..." имеет своим следствием вначале разделение ответственности, а затем - и разделение совести.
Если не углубляться в социально-психологические "дебри" этого процесса, то... философы однажды решили, что теорема Кантора - это профессиональная математика, то есть зона для философии запретная; 99% реально работающих математиков, то есть таких математиков, чьи достижения в конечном счете проверяются числом или практикой, однажды решили, что теорема Кантора - это метаматематика, и с тех пор в эту область - "ни ногой". Так что математика получила то, что имеет, - теорему Кантора плюс "сплошная бурбакизация" всякого здравого смысла как науки, так и математического образования. Согласно мнению уважаемого Владимира Арнольда, к которому и я, и многие другие математики вынуждены с грустью присоединиться.
Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого "патологического казуса"? Тем более что в метаматематику, как правило, "идут" интеллектуалы, имеющие IQ заведомо выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.
...
тов.Зенкин жжот. На самом деле...
Спиноза в XII Письме также различает три типа бесконечного: бесконечное-в-себе, бесконечное-по-основанию и, наконец, бесконечное, мыслимое в его пределах. Лейбниц выражает удовлетворение этой классификацией Спинозы
поговорим о третьем уровне бесконечного. Речь идет о сериях, по-прежнему не имеющих последнего члена, но конвергентных и стремящихся к некоему пределу 12. Речь идет уже не о распространениях, а об "усилениях" или о "напряженностях" (интенсивностях). Уже не об отношениях, а скорее о законах. Не о Комбинаторном, а о Характерном. Не о материи, а о том "реальном" в материи, которое заполняет протяженность (разумеется, это "возможная" реальность). Именно реальное в материи, вещь, обладает внутренними свойствами, чья детерминация всякий раз затрагивает некую серию величин, конвергирующих в направлении предела, так как между пределами возникает отношение нового типа (dy/dx), образующее закон. Герман Вейль писал, что каждый закон Природы с необходимостью представляет собой дифференциальное уравнение. И тут понятие реквизита - одно из наиболее оригинальных у Лейбница - обозначает уже не определяющие, но условия, пределы и дифференциальные отношения между этими пределами, тем самым обретая автономный и точнейший смысл. Целого и частей теперь нет, а есть степени каждого свойства. Так, внутренними свойствами звука являются интенсивность в собственном смысле слова, высота, длительность, тембр; свойства цвета - оттенок, насыщенность, валер; золото - в часто упоминаемом Лейбницем примере - обладает цветом, весом, ковкостью, сопротив-
лением купелированию в неочищенной азотной кислоте. Реальное в материи обладает не только протяженностью, но еще и "непроницаемостью, инерцией, неистовством и связностью". То, что мы называем текстурой некого тела, представляет собой как раз множество этих внутренних свойств, свободу их варьирования и отношения между их пределами: такова текстура золота 13. По мере того, как Реквизиты тем самым начинают отличаться от Определимых (хотя они и способны образовывать определения), мы имеем дело с включениями третьего типа, - на этот раз не взаимными и односторонними: здесь-то достаточное основание и становится принципом. Всякое реальное есть субъект, чей предикат является свойством, стоящим в серии других свойств, поскольку множество предикатов есть отношение между пределами этих серий (следует избегать смешения предела с субъектом).
http://www.highbook.narod.ru/philos/deleuse_pli/deleuze_pli_gl4.htm
БЕСКОНЕЧНОЕ. — Письмо 12 Мейеру различает три бесконечности: 1 То, что не ограничено природой (либо бесконечное в своем роде, каковым является каждый атрибут, либо абсолютно бесконечное, каковой является субстанция). Такое бесконечное формирует часть свойств Существа, заключающего в себе необходимое существование, а также вечность, простоту и неделимость: «Ибо если бы природа его была ограниченной и мыслилась тоже ограниченной, то вне этих границ она должна была бы мыслиться как несуществующая» (письмо 35);
360
2° То, что не ограничено своей причиной: речь идет о непосредственных бесконечных модусах, в которых абсолютно выражаются атрибуты. Такие модусы очевидно неделимы; к тому же они обладают актуальной бесконечностью частей, которые все согласуются друг с другом и неотделимы друг от друга: значит, модальные сущности содержатся в атрибуте (каждая сущность — это интенсивная часть или степень). Именно поэтому, если мы рассматриваем какую-либо из этих сущностей абстрактно, отдельно от других и от производящей их субстанции, то мы схватываем ее как ограниченную, внешнюю по отношению к другим. Более того, поскольку сущности не задают существования и длительности модуса, мы схватываем его длительность как что-то, что может быть более или менее продолжительным, а существование — как то, что составлено из большего или меньшего числа частей; мы постигаем их абстрактно как делимые количества;
3° То, что не может быть равно какому-либо числу, хотя является более или менее крупным и включает в себя максимум и минимум (например, сумма неравных расстояний между двумя неконцентрическими окружностями в письме Мейеру). Такое бесконечное, а скорее такое неопределенное на сей раз отсылает к конечным существующим модусам и к опосредованным бесконечным модусам, которые оно компонует под определенными связностями. Действительно, каждая модальная сущность как степень могущества заключает в себе максимум и минимум; и поскольку модус существует, постольку бесконечность экстенсивных частей принадлежит ему под связностью, соответствующей его сущности. Такое бесконечное не определяется числом своих частей, потому что само оно всегда выступает как бесконечное, превосходящее всякое число; и оно может быть более или менее крупным, ибо той сущности, степень могущества которой удваивается другой степенью могущества, соответствует в два раза большая бесконечность экстенсивных частей. Данное вариабельное бесконечное является бесконечным существующих модусов, а бесконечная совокупность всех этих совокупностей — со всеми их характерными связностями — полагает бесконечный опосредованный модус. Но когда мы понимаем сущность модуса абстрактно, мы также понимаем абстрактно и существование, измеряя, компонуя и создавая его в зависимости от числа абстрактно заданных частей (см. 2°).
http://www.krotov.info/lib_sec/05_d/del/delez_4.htm
просто цитаты
“Построить протяженный континуум, по Флоренскому, значит учесть оба рода бесконечно малых величин – дифференциалы Ньютона и дифференциалы Лейбница”
Очевидно, что эта диалектическая по духу философско-методологическая установка в нестандартном анализе остается нереализованной. Следование ей означало бы введение в теорию множеств нового объекта
Майданский
...
В анализе проблемы бесконечного Спиноза предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Г. Кантора.
Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности.
Старый постулат о логическом примате идеи абсолютно бесконечного нашел в философии Спинозы свое законченное воплощение (двумя столетиями раньше, чем в математике 53,
53 Co времен Георга Кантора считается прочно доказанным, писал Александр Койре, что «при логическом конструировании арифметики понятие бесконечного и теория бесконечных множеств должны быть помещены до теории конечных чисел, ибо, предшествуя последней логически, они служат ей основанием» (Койре А. Очерки истории философской мысли. Москва, 1985, с. 430). Так математика, знающая бесконечное только в его количественном выражении, по-своему подкрепляет достоверность мысли, ранее высказанной философами о бесконечном вообще, в его идеальной форме.
подытоживая экспозицию
Есть разные уровни или срезы теы бесконечного. Математика, философия, теология, физика,космология.
Есть дальнейшие сюжеты , в т.ч. разумеется математические ( в т.ч. дифференциальное исчисление и теория множеств - в математике)
"Каждый мнит себя главным", естессно.
У Спинозы (как реконструировано Даффи по работам Делеза) найдено некоторое решение, равномощное всем "уровням" или срезам. Через тему "Infinitum Actu"