>>>Количественные закономерности ЧЕГО? Пространственные формы ЧЕГО?
>>
>>Но Вы же не задаете вопрос химию ЧЕГО изучает химия.
>Химия, насколько я понимаю, изучает природные и искуственные вещества, а также специфические взаимодействия между ними, называемые химическими реакциями. То есть, химия изучает реальный мир, используя для изучения специфические модели реальности - например, теорию атомного строения вещества.
Отлично. Математика изучает специфические взаимоотношения между элементами реальности, называемые "количественные отношения". И сттроит для этого специальные научные модели: теорию пределов,интегральное и дифференциальное исчисления, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, теорию уравнений в частных производных.
Особоенность математики является универсальность этих математических моделей, когда одно и то же уравнение может использоваться для реальности самой различной природы.
>>Так и математика изучает количественные закономерности как часть объективной, не зависящей от субъекта реальности. 2+2 = 4. Всегда.
>Ну, скажем, в троичной системе исчисления не равно. Но это, я понимаю, всего лишь способ записи. Далее, аддитивность не универсальна. Сопротивление параллельной сети из двух резисторов не равно сумме сопротивлений резисторов :)
А это уже типичная ошибка неправильного применения математики.
Структура её утверждений всегда начинается с "если". ЕСЛИ выполняются условия ТО утверждение. Например, если выполняются аксиомы целых чисел, то 2+2 = 4. Независимо от формы записи. Т.е. форма записи числа 4 может измениться, но если записывать 2 и 4 в одной системе счисления, то для целых чисел 2+2 всегда 4. В США, в Сомали, для Иванова, для Смита, для Бхванга.
>Длина окружности - равна пи, которое иррационально.
>Окружность - это такая абстракция. Реально существуют круглые объекты, то есть такие объекты, обвод которых с некоторой степенью точности моделируется окружностью.
Совершенно верно. Но физика и химия - это тоже абстракция. Материальных точек не существует. Абосолютно правильных шаров - тоже. И любой язык, кстати - абстракция.
Вообще способ познания, как Вы приекрасно помните - Конкретное - Абстрактное - Конктретное. Математика идет абсолютно по тому же пути.
>Что характерно, речь идет об объектах в эвклидовом пространстве (еще одна абстракция). Чему равна длина окружности в пространстве Лобачевского, я не знаю, но подозреваю, что можно смоделировать пространство так, что от пи мало что останется.
Да, конечно, поэтому математика никогда не говорит об "обкружности вообще".
>>Выбросьте свое ЧЕГО и проблемы исчезнут.
>Да нет их, проблем. Есть очень специфическая отрасль научного инструментария, которая не вполне укладывается в классическое определение научной теории. Только и всего.
Это проблемы "классического определения". Я предлагаю его просто выбросить. Поверьте, это проще, чем выбрасывать математику из науки. Чье определение Вы берете, кстати? В марксистскую концепцию познания математика входит без вопросов.
>>> Наука всегда предметна. А математика в принципе всегда имеет дело с идеальными объектами, существующими только в мозгах математиков.
>>
>>С каких это пор числа присутствуют только в мозгах математиков?
>С тех пор, как люди научились мыслить не конкретными объектами, а абстрактными числами. Утверждающий, что два раза по два банана - это четыре банана, тот еще не математик. А вот провозглашающий, что 2*2=4 - уже математик.
Но два, даже "два банана" - это уже абстракция. И порядковые числительные - уже абстракция. И любое слово - абстракция. Да и числа присутствуют в головах всех людей, познакомившихся с арифметикой.
>>С тем же успехом можно писать, что электроны присутствуют только в мозгах физиков
>То есть, Вы уверены, что это не так? А мне казалось, что электрон - это просто абстрактная модель реальности, позволяющая создать непротиворечивое описание атома. Какова же при этом реальность? Сегодня электроны - это уже не шарики, которые крутятся вокруг атомного ядра, как планеты вокруг звезды - а ведь так их понимали всего лишь лет сто назад? И кто знает, как их будут понимать завтра?
И чем в этом смысле экономическая модель равновесия Вальраса отличается? Или ВЫ её вычеркиваете из экономики? Любое понятие существует в развитии. И время мы понимаем сейчас не так, как давным давно, и пространство. Да практически любой термин.
Развитие, субъективная диалектика.
>>а законы экономики только в головах экономистов.
>Ну, тут и спорить не о чем. Ни одна экономика не ведет себя в полном соответствии с экономическими законами. Воля людей, знаете ли, накладывает неизгладимый отпечаток, а ее экономисты не изучают, или почти не изучают.
Но это же не повод не считать экономику наукой, правда? Или...
> "Мозгов математиков" не существуют, мозг свой у каждого человека. И то, что у всех 2+2 = 4 доказывает, что математика является наукой более, чем что либо еще.
>Уверяю Вас, в мире существует несколько сот миллионов людей, для которых сказанное Вами - непостижимая абстракция. Нет, что два раза по два доллара - это четыре доллара, это они чаще всего понимают. Но возможна и ситуация, когда весь счет ограничивается словами "один", "два", "три", "много", "очень много".
Я это прикрасно знаю по нашему форуму, причем даже некоторым докторам наук. Но, во первых, очень многие понимают. Во вторых, если брать какую-нибудь химию, там понимают еще меньше, а поводов для несогласия гораздо больше.
>>Она наиболее проверяема, она наиболее продвинута по логическому построению.
>
>Математические выводы зависят от выбора аксиоматики. А аксиоматику можно выбирать по-разному.
Ну, здесь есть некоторое заблуждение. Да, существует некоторая свобода в выборе аксиом. Но, поверьте, она очень не большая и находится достаточно далеко. Эта свобода затрагивает буквально считанные единицы людей. Во-вторых, и это главное, математика как пишет "если мы принимаем аксиомы а, б, в, то верно следующее".
И это опять же абсолютно одинаково (для всех, понимающих, о чем идет речь). Т.е. даже возможность выбора аксиом не меняет объективности математики. Вообще надо помнить, что аксиома - это такое научное утверждение и оно обосновывается точо так же, как и любое другое научное утверждение (только в другом месте). Её нельзя взять совсем "произвольно".
>>>И как именно та или иная теорема проверяется на соответствие практике? Теорема Пифагора, например?
>>
>>Если Вы найдете хоть один треугольник, который в пределах измерений будет отличаться от результатов теоремы Пифагора при выполнении аксиоматики, то теорема Пифагора будет неверной.
>Да пожалуйста. Нулевая точка на экваторе, Северный полюс, точка с координатами 0 градусов широты и 90 градусов долготы. Нарисованный на поверхности Земли треугольник будет прямоугольным - аж с тремя прямыми углами. И одновременно равносторонним.
Но для этого треугольника выполняются аксиомы сферической геометрии, а не плоской. Прочитайте внимательно: Вы должны найти треугольник, для которого выполняются аксиомы эвклидовой геометрии на плоскости. И если Вы для него гипотетически измерите соотношение между сторонами, для которого соотношение между сторонами выйдет за пределы измерений, то...
>А геометрия, напомню, это изначально именно наука об измерении разных участков на поверхности Земли. Круглой Земли, как выяснилось впоследствии. Так что применительно к своему предмету Пифагор был неправ изначально :)
Дмитрий, Вы забываете, что отличие реальных участков от плоскости намного больше сферических поправок. :-)
Ладно, давайте я Вас еще более страшную вещь скажу: пиетет перед практическими измерениями во многом обусловлен большими погрешностями измерений. Сейчас часто встречается, что если результаты эксперимента противоречаь теории, то он идет в мусорку. Ибо теория - это сотни и тысячи уже обработанных экспериментов, тщательно проверенных. А каждый экперимент - это экспериментальные ошибки.
>Если более серьезно. Пифагор в качестве модели поверхности земли принял плоскость, что позволило разработать теорию измерений земельных участков с приемлемой степенью точности. Для больших земельных участков эта модель неверна.
Конечно. Но математики никогда не ограничивали себя в моделях.
>Насколько я знаю, евклидово трехмерное пространство не является адекватной моделью Вселенной. Значит ли это, что эвклидова геометрия неверна?
Нет, не значит.
>И если нет, то в чем же критерий истинности данной математической теории?
Я уже написал про if-then. Надеюсь, этого достаточно. Если нет, то готов еще пояснить.
Вообще это абсолютно общий принцип. Любые измерения делаются некоторыми инструментами в предположении некоторых моделей.
И яхотел еще одно подчеркнуть - важно, что практические вычисления(измерения) можно использовать в качестве критерия истины. Т.е. если кто-то написал формулу для решения уравнения в некоторых предположения, а Вы нашли число, для которого предположения выполняются, а подстановка дает результат отличный от нуля, то в теореме ( формуле) - ошибка.
Естественно, это не самый удобный критерий для математики. Но ведь то же самое и для других наук. Практика (включающая в себя проверенную часть теории, кстати) всей человеческой деятелльности является критерием истины в конечном счете.
Последние два слова часто забывают. :-) Все выше написанное является моим мнением
