От Михаил Едошин Ответить на сообщение
К Игорь С. Ответить по почте
Дата 26.01.2005 23:44:18 Найти в дереве
Рубрики Теоремы, доктрины; Версия для печати

Эк вы строго :)

Есть ведь и математики, считающие, что вся математика — это, по сути, тавтология. Вон, Арнольд такие ужасы рассказывает о французской математике и бурбакистах... Они, конечно, неправы, но может быть как раз какой-нибудь такой и повлиял на товарища? Откуда ж товарищу узнать правду, если одни математики говорят одно, другие — другое? :)

Тем не менее, думающий человек вполне может разобраться в вопросе. Вот у меня тут есть очень интересный отрывок из также очень интересной книги «История математики».

====

Закладывая фундамент исчисления бесконечно малых, ученые XVII в. прежде всего отправлялись от античного наследия, например от идей математического атомизма или интегральных сумм Архимеда. Но магистральный путь в создании исчисления бесконечно малых приходилось прокладывать заново, руководствуясь совсем иными целями и средствами. Это относится прежде всего к центральной идее универсального научного метода, реализацией которой было операционное исчисление бесконечно малых, подобное буквенной алгебре. Это относится и к представлению функций в форме аналитических выражений, особенно бесконечных рядов, произведений и непрерывных дробей. Во всем этом пришлось не только далеко выйти за рамки античных методов, но и отказаться на довольно долгое время от соблюдения норм научной строгости, бывших стандартными в доказательствах по методу исчерпывания.

Новые методы и математическая строгость

С самого начала XVII в. многие выдающиеся математики стали применять инфинитезимальные приемы, опиравшиеся на представление фигур как сумм бесконечного числа бесконечно малых элементов того же или даже низшего измерения, что и рассматриваемая фигура; во втором случае иногда для осторожности говорили не о сумме, а о совокупности неделимых, образующих фигуру. При вычислении пути по данной непрерывно меняющейся скорости принимали, что в весьма малые промежутки времени скорость постоянна, а от одного промежутка к другому меняется скачками. Чтобы провести касательную, кривую трактовали как ломаную с бесконечно большим числом бесконечно малых сторон. В нарушение законов арифметики в инфинитезимальных равенствах пренебрегали бесконечно малыми слагаемыми высших порядков и т. д. Так поступали Непер, Кеплер, Декарт, Ферма, Кавальери и многие, многие другие вплоть до Ньютона и Лейбница. Именно эти люди в большинстве своем интенсивно развивали аппарат вычислений с бесконечно малыми, в то время как учерные, применявшие в несколько облегченной форме методы древних, как правило, мало заботились о совершенствовании технических средств, без которых движение вперед было невозможно.

Очень скоро сложилась парадоксальная ситуация: результаты, достигнутые математиками, работавшими в классическом стиле, были исчезающе малы по сравнению с результатами, достигнутыми математиками, работавшими в новом, более свободном стиле. Основное нововведение состояло, коротко говоря, в открытом применении неуточненных и неуточняемых понятий бесконечно большого и бесконечно малого, которые лишь в неявной форме имелись в творениях греков (о «Послании» Архимеда, повторяем, в XVII в. не знали). Термин «бесконечное» более не отпугивает математиков, причем бесконечными величинами начинают смело оперировать, следуя чаще всего аналогиям с действиями над конечными величинами, а заодно применяются неполная индукция и умозаключения по вероятности. Множество новых открытий оправдывало эту смелость. Несомненная нестрогость приемов обычно не влекла за собой ошибок, от которых исследователей уберегала правильная интуиция.

<...>

Любопытны высказывания некоторых ученых. Так, Кавальери утверждал, что строгость — забота философов, а не геометров. Блез Паскаль несколько позднее говорил, что не логика, а приличествующая случаю ясность достаточна для правильных умозаключений.

<...>

Новым критерием, позволявшим отделить корректное заключение от некорректного, было, как правило, умение построить аналитический аппарат, допускавший числовую проверку прямым вычислением. Современниками такое уязвимое положение ощущалось очень остро. Мишель Ролль, резюмируя итог столетних усилий схватить существо вопроса, писал, что новое исчисление есть коллекция гениальных ошибок. Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.

Триумф новой науки побуждал математиков неустанно совершенствовать свои приемы на основе правильно понятого «экспериментального» метода. Решая конкретные задачи, они вырабатывали новые и новые эвристические схемы математических рассуждений. Изучая работы творцов нового анализа, от Кеплера и Кавальери до Ньютона и Лейбница включительно, можно увидеть, как не очень ясные индуктивные приемы превращаются, с одной стороны, в некую общую науку — эвристику (Декарт, Лейбниц), а с другой стороны, становятся мощными и верными методами математики (математическая индукция, рекуррентные соотношения и интерполяция)...

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3 т. Т. 2. Математика XVII столетия // Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970. С. 136–139

====

Имеющий уши да услышит.

>Вы знаете что один из крупнейших математков работал только эмпирическим путем?

Я не знаю — кто?

> Вы знаете, что эмпирика - ключевое в поиске и формулировке математических утверждений?

Тут, кстати, не удержусь и приведу еще цитату из фон Неймана; интересна она прежде всего тем, что Нейман вроде бы не считает математику эмпирической наукой, но выводы, к которым он приходит, свидетельствуют как раз об обратном.

====

Самая жизненно важная отличительная особенность математики состоит, по-моему, в ее совершенно особой связи с естественными науками или, если рассматривать все в более общем плане, с любой наукой, интерпретирующей опыт на более высоком уровне, нежели чисто описательный.

Большинство людей, математиков и нематематиков, согласятся с тем, что математика не является эмпирической наукой или что она по крайней мере по образу действий отличается в некоторых весьма важных отношениях от методов эмпирических наук. Тем не менее развитие математики весьма тесно связано с естественными науками. Один из ее основных разделов — геометрия — зародился как естественная, эмпирическая наука. Некоторые из наиболее ярких идей современной математики (я убежден, что это — ее лучшие идеи) отчетливо прослеживаются до своих истоков в естественных науках. Математические методы пронизывают «теоретические» разделы естественных наук и доминируют в них. Главный критерий успеха в современных эмпирических науках все в большей мере усматривают в том, насколько эти науки оказываются в сфере действия математического метода или почти математических методов физики. Неразрывная цепь последовательных псевдоморфоз, пронизывающая естественные науки, сближающая их с математикой и почти отождествляемая с идеей научного прогресса, становится все более очевидной. В биологию во всевозрастающей степени проникают химия и физика, в химию — экспериментальная и теоретическая физика, в физику — наиболее изощренные по своей математической форме методы теоретической физики.

Природа математики обладает весьма замечательной двойственностью. Эту двойственность необходимо осознать, воспринять и включить ее в круг представлений, неотъемлемых от предмета. Эта двуликость присуща лицу математики, и я не верю, что можно прийти к какому-нибудь упрощенному единому взгляду на математику, не пожертвовав при этом существом дела.

...Я считаю, что довольно хорошее приближение к истине (которая слишком сложна, чтобы допускать что-нибудь, кроме аппроксимации) состоит в следующем. Математические идеи берут свое начало в эмпирике, но генеалогия их подчас длинна и неясна. Но коль скоро идеи эти возникли, они обретают независимое, самостоятельное существование. Их лучше сравнивать с художественными произведениями, подчиняющимися чисто эстетическим оценкам, чем с чем-либо другим и, в частности, с эмпирическими науками. Однако здесь имеется одно обстоятельство, на которое, по моему убеждению, необходимо обратить особое внимание. Когда математическая дисциплина отходит достаточно далеко от своего эмпирического источника, а тем более когда она принадлежит ко второму или третьему поколению и лишь косвенно вдохновляется идеями, восходящими к «реальности», над ней нависает весьма серьезная опасность. Она все более и более превращается в бесцельное упражнение по эстетике, в искусство ради искусства. Это не обязательно плохо, если вокруг данной дисциплины имеются другие родственные разделы математики, имеющие более тесные связи с эмпирическими науками, или если данная дисциплина находится под влиянием людей с исключительно хорошо развитым вкусов. Но существует серьезная опасность, состоящая в том, что математическая дисциплина начнет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что поток вдали от источника разделится на множество мелких рукавов и что соответствующий раздел математики обратится в беспорядочное нагромождение деталей и всякого рода сложностей. Иначе говоря, на большом расстоянии от эмпирического источника или в результате чересчур абстрактного «инбридинга» [от англ. inbreeding — скрещивание близкородственных форм] математической дисциплине грозит вырождение. При появлении того или иного раздела математики стиль обычно бывает классическим. Когда же он обретает признаки перерождения в барокко, это следует расценивать как сигнал опасности.

...При наступлении этого этапа единственный способ исцеления, на мой взгляд, состоит в том, чтобы возвратиться к источнику и впрыснуть более или менее прямо эмпирические идеи. Я убежден, что это всегда было необходимо для того, чтобы сохранить свежесть и жизненность математической теории, и что это положение останется в силе и в будущем (из статьи «Математик»).

====

Надеюсь, вам понравилось :)

С уважением,
Михаил