|
|
От
|
quest
|
|
|
К
|
And
|
|
|
Дата
|
20.06.2001 23:06:13
|
|
|
Рубрики
|
Россия-СССР;
|
|
Спорить действительно незачем.
Hi!
>Увы, Вы видимо, плохо знакомы с историей. Я усилю тезис -- сегодня кризис наблюдается в основаниях математики.
Вашему "сегодня" уже более тридцати лет. А за это время многое поменялось. И существенно.
>Вы свалили в кучу все теории. Впечатление такое, что это перечисление должно кого-то убедить в торжественном построении величественной пирамиды сегодняшней математики. Увы, их обилие и красота не более чем красота ярмарочных воздушных шариков, в основании каждого из которых тоненькая непрочная ниточка.
Увы, но прежде чем оценивать "прочность ниточки" было бы неплохо иметь представление о предмете оценки.
>Начнем с того, Вы забыли указать теорию, если уж говорили о "наиболее формализованной и абстрактной", основным творцом которой был Г.Кантор. Первой "наиболее формализованной и абстрактной" стала именно теория множеств.
Именно Канторовская теория множеств и оказалась столь слабо формализированна, что потребовалось более 70 лет, чтобы понять это и более-менее привести ее к стандартам формализации (после работ Коэна, выполненных в 60-х).
>> >Любая система аксиом неполная.
>
>> Данное утверждение имеет логическое значение false.
>
>Это формальное утверждение в Вашей системе мышления, не так ли? :)
Это констатация того факта, что давно известны полные системы аксиом.
>> Пример: система аксиом Евклидовой планиметрии (которую все изучали в школе) - полна.
>
>Голословное утверждение.
Отнюдь. Сие доказано.
>Напоследок можно указать, что Гильберт разработал адекватную систему аксиом, на которой можно было возвести всё здание евклидовой геометрии, но она оказалась так сложна и громоздка, что ее нельзя было преподавать в средней школе.
А Дьедоне это вполне удалось :-) Вы путаете планиметрию, которую описал Евклид, и Евклидову планиметрию :-)
Последняя названа так в противоположность планиметрии Лобачевского и планиметрии Римана. Это три разные планиметрии. Евклидову изучают в средней школе, но не по Евклиду!
>[Интересно, зачем это Гильберту понадобилось заново сочинять аксиомы, если евклидовы полны? А, quest? --And]
Я выше уже объяснил Ваше заблуждение.
>> Гедель доказал, что в любой аксиоматической теории, ВКЛЮЧАЮЩЕЙ В СЕБЯ АКСИОМЫ ФОРМАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ, существует утверждение, которое в рамках этой теории нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
>
>Во-первых, значение, которое Вы вкладываете в ФОРМАЛЬНУЮ АРИФМЕТИКУ, какое-то абсолютное. Между тем, в теореме Гёделя говорится просто о языке, достаточно богатой формальной системе, а в частности, это может быть арифметика.
Вы сами теорему Геделя и ее доказательство видели? У меня складывается впечатление, что Вы пользуетесь чьими-то комментариями и вольным пересказом.
>Во-вторых, из Вашего предложения следует, что сама формальная арифметика (как формальная система) -- причина невыводимости ни утверждений (теорем), ни их отрицаний из аксиом. Единственное, что нужно отметить, это специфика конструкции доказательства. Она требует необходимости включения в список аксиом исходной формальной системы, которые не должны быть противоречивы, и группы аксиом натуральных чисел. Оба этих требования четко ограничивают применимость выводов этой теоремы областью непротиворечивых формальных систем научного знания, в предметную область которых входят числовые величины.
Во-первых, такие системы (в предметную область которых входят числовые величины) далеко не исчерпывают все математические системы. А во-вторых, Вы опять забыли :-) добавить, что речь идет не о просто "числовых величинах", а именно об арифметических (в противоположность алгебраическим, где нет ни аксиомы индукции, ни, довольно часто, - бесконечности: ни потенциальной, ни актуальной. По той простой причине, что в алгебре часто и преимущественно рассматриваются конечные конструкции). О конечных группах и полях слышали?
>Но для существующих научных областей знания ни для одной из них, включая и математику, еще не удалось доказать непротиворечивость, а требование включения в качестве предмета -- числовых величин ясно указывает на то, о каких наука должна идти речь. Например, экономика, физика, математика, химия...
Зря Вы считаете, что можно изучать математику по книгам по истории, пусть даже - истории математики. :-)
И в физике, и в химии, и в биологии давно и успешно применяется математика преобразований (теория групп в частности), где понятия числа нет в природе.
>> Более того, из той же теоремы Геделя следует, что можно расширить аксиоматическую теорию, как недоказуемым утверждением, так и его отрицанием, БЕЗ УЩЕРБА ДЛЯ ТЕОРИИ! Что говорит просто об отсутствии пределов развития таких теорий.
>Эта фраза не содержит никакого познавательного смысла.
Вы так считаете? По-видимому, Пойя, Лобачевский и Риман совершенно напрасно развивали свои геометрии, а современные системы криптографической защиты с открытым ключем (основанные на не доказанном и не опровергнутом утверждении) тоже смысла не имеют! :-)
>Гедель показал, что формальная система либо непротиворечива и неполна, либо противоречива и полна. Любой может взглянуть на эту легендарную теорему и убедиться, что она проста, как табуретка и доступна человеку со школьным багажом знаний. http://metaphysis.narod.ru/things/tavrov/alexandrian/a_p.htm
И опять Вы забыли добавить: "при определенных условиях" (а эти слова неоднократно повторяются в тексте по ссылке) :-) А условия эти ой как существенны!
>> Согласитись, что это несколько отличается от:
>
>> >То есть истина, возможно, и есть, но формально и строго обосновать ее существование нельзя.
>
>Соглашаюсь.
А куда Вам деваться? :-)
>> Не стоит, так вольно с математикой! Это - не политология :-)
>
>Скорее, не стоит выносить узкоспециальные самоуверенные суждения на политологический форум, потому что на нем могут востребовать оснований для целой науки, а это выходит за пределы самой науки, откуда пытается вещать в гордом одиночестве узкий специалист :0) Когда политикам понадобится спросить математика, которого они финансируют, они вызовут его на ковер и хорошенько спросят.
Вы взялись интерпретировать именно узкоспециальный результат в угодном Вам политологическом смысле, исказив и смысл и суть его (результата). В отличии от политологии, математика не терпит "вольного пересказа". Так Вы, пожалуй, и физическую единую теорию поля построите, сославшись на математическую теорию полей :-)
>PS: Времени на математическую дискуссию, как на тему дарвинизма, у меня нет.
И правильно, - любителям в современной математике делать нечего! Пустое занятие, ИМХО :-)
Best regards, Quest.
ЗЫ. Я прекращаю дальнейшую дискуссию, убедившись, что ее уровень, мягко говоря, далек от математики.