Форум С.Кара-Мурзы

	От	And
	К	quest
	Дата	20.06.2001 20:26:56
	Рубрики	Россия-СССР;

Re: я удивился...

> Hi!
> Вы вводите местное общество в заблуждение.

Это не более чем Ваш необоснованный тезис. Пусть читатель сам найдет основания и сделает свои выводы, кто кого вводит в заблуждение.

> >Двумя словами: теоремы Геделя показывают крах формального подхода даже в самой математике.

> Немного не так. Математика и до Геделя и после него использует формальный подход весьма успешно. Краха не наблюдается.

Увы, Вы видимо, плохо знакомы с историей. Я усилю тезис -- сегодня кризис наблюдается в основаниях математики.

> А наблюдается исключительно быстрое развитие именно наиболее формализированных абстрактных разделов математики: теория моделей, теория чисел, теория алгоритмов, формальная алгебра, топология и т.д.

Вы свалили в кучу все теории. Впечатление такое, что это перечисление должно кого-то убедить в торжественном построении величественной пирамиды сегодняшней математики. Увы, их обилие и красота не более чем красота ярмарочных воздушных шариков, в основании каждого из которых тоненькая непрочная ниточка.

Начнем с того, Вы забыли указать теорию, если уж говорили о "наиболее формализованной и абстрактной", основным творцом которой был Г.Кантор. Первой "наиболее формализованной и абстрактной" стала именно теория множеств.

[далее я использовал куски из очень многих статей и книг, так как изложить самому нет времени, но думаю, что этот текст по истории и философии математики получился достаточно гладким. Однако эта компиляция вполне отражает мое мнение о современном состоянии математики. Что такое компиляция и как это относится к собственно написанию, в наш век компьютеров, думаю, пояснять не надо. Однако многое всё же остается за кадром этого текста, так как есть еще биология, физика, философия... --And]

...24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.

Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни... Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии...

Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой - допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых "телец". На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.

Эпопея знаменитых апорий (парадоксов) Зенона, которые двадцать пять столетий назад оказались самой настоящей сенсацией, весьма поучительна.

Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как тихоходна черепаха, слывущая эталоном медлительности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придется догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперед. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху?

В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя дает ей фору не только в расстоянии - 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу - всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти еще на 10 саженей вперед. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдет еще на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится - пусть на одну десятую сажени, но все-таки вперед, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошел алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1/9. Проделав нехитрый подсчет, Минто заключает: "Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет ее между 111-й и 112-й саженями на их пути".

Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил Зенону, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча...

Трудно представить, что Зенон никогда никого не перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков? Мыслитель смущен другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?

Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 111 1/9 сажени, - не есть ли это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего предела. И достигает ли вообще? Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001. Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем 111 1/9. Правда, чуть-чуть, но все-таки меньше! Разница станет еще меньше, если мы присовокупим к последовательности еще один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь членов - семь знаков в числе - единичек, заметили? Если членов будет восемь, сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмете ли вы сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, все равно ваше число с колоссальным по длине хвостом из единиц будет меньше 111 1/9. Сумма изменяется, растет, но не достигает предела.

Французский математик Мансион недвусмысленно говорит: "Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределенно приближается, никогда ее не достигая". Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, подметив трудности в строгости истолкования понятий "предел" и "непрерывность".

Если эта апория в истории математики фигурирует под названием "Ахилл", то второй присвоено имя "Дихотомия". Это древнегреческое слово переводится так: "бесконечное деление пополам". Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину, говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться до метки, рассекающей эту половину. Однако прежде чем оставить за собой четверть пути, нужно пройти его "осьмушку"... так можно продолжать до бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнется.

В "Дихотомии" Зенон указал на трудности постигнуть понятия "континуум" (непрерывная последовательность всех точек линии) и "движение". Но математики давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми бессильна интуиция. И тем не менее мы должны все-таки признать, что в "Дихотомии" есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идет о бесконечном ряде, не имеющем начала. Это все та же диалектика бесконечности, которая обретает особую остроту применительно к последовательности моментов времени.

Следующая апория, известная как "Стрела". "Движенья нет, сказал мудрец брадатый..." Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает:
//"...Другой смолчал и стал пред ним ходить.
//Сильнее бы не мог он возразить.
//Хвалили все ответ замысловатый.
//Но, господа, забавный случай сей
//Другой пример на память мне приводит:
//Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
//Однако ж прав упрямый Галилей!"
Пушкина цитирует писатель Даниил Данин в своей книге "Неизбежность странного мира". И продолжает: "Зенон вопрошал: -- Вот летит стрела, в каждый момент ее можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же берется движение? Значит, движение - череда состояний покоя? Не абсурд ли это?

Рассуждение было безупречно. Но и доказательство Диогена, который начал ходить, тоже было неопровержимо. Мог ли отыскаться выход из этого очевидного противоречия -- движение слагается из моментов покоя? Выход должен был отыскаться и отыскался.

Для этого математика и механика должны были научиться оперировать с бесконечно малыми величинами. Они должны были научиться рассматривать состояние покоя как нулевой предел исчезающе малого перемещения. Это делает дифференциальное исчисление. И должны были научиться складывать такие нули, не удивляясь, что бесконечное прибавление бесконечно малых движеньиц может дать вполне реальный конечный отрезок пути. Это делает исчисление интегральное. В рассуждении Зенона была заметная логическая погрешность. Он разлагал перемещение стрелы на бесконечное множество состояний покоя, а складывал их по арифметической логике конечных сумм: если взять столько-то нулей, все равно получится нуль. И потому сказал: "Движения нет". А все дело в том, что как ни велико арифметическое "сколько-то", оно еще не бесконечность. Диоген только молча и мог опровергнуть Зенона -- словами у него ничего бы не вышло, потому что не было тогда нужных для этого слов".

Ну, а сегодня? Очевидно, дифференциальное и интегральное исчисления, это те магические слова, каковыми-де можно парировать выпады Зенона? не так ли? Что ж, давайте попробуем урезонить античного смутьяна самыми могущественными аргументами математического анализа.

//Лук звенит, стрела трепещет,
//И, клубясь, издох Пифон...
//И твой лик победой блещет,
//Бельведерский Аполлон!

Сценка убийства, нарисованная Пушкиным, графически изображается баллистической кривой, а в идеале (если не учитывать сопротивления воздуха) - параболой, по которой перемещается стрела от тетивы до мишени. Координаты такие: высота подъема (вертикальная ось) и время полета (ось горизонтальная). Сейчас мы займемся дифференцированием. Как подсчитать скорость? [не удержусь и скажу, что далее я цитирую своего любимого автора, Р.Фейнмана, т.1]

...вспомним старую шутку, которую вы наверняка слышали. Вы помните, что автомобиль, о котором мы говорили в начале этой лекции, был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит: «Мадам (ибо за рулем была женщина). Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час». Женщина отвечает: «Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!» Как бы вы ответили на месте полицейского? Конечно, если вы действительно настоящий полицейский, то такими хитростями вас не запутаешь. Вы бы твердо сказали: «Мадам, оправдываться будете перед судьей!» Но предположим, что у вас нет такого выхода. Вы хотите честно доказать нарушительнице ее вину и пытаетесь объяснить ей, что означает скорость 90 км/час. Как это сделать? Вы скажете: «Я имею в виду, мадам, что если бы вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 километров». «Да, но я ведь затормозила и остановила машину,—- может ответить она,—- так что теперь-то я уж никак не могла бы проехать 90 километров в час».

Аналогичная проблема возникает и в случае падающего шарика. Предположим, что мы хотим определить его скорость через 3 сек, если бы он двигался таким же образом. Но что означает «двигался таким же образом»? Сохранял бы ускорение, двигался быстрее, что ли? Конечно, нет! Сохранял бы ту же самую скорость. Но ведь это как раз то, что мы пытаемся определить! Если бы шарик продолжал двигаться «таким же образом», то он падал бы так же, как падает. Так что нужно придумать что-то лучшее для определения скорости. Что же все-таки должно сохраняться? Нарушительница могла бы вам еще ответить и так: «Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы!» В общем, как видите, полицейский оказался бы в очень трудном положении, пытаясь объяснить, что он имел в виду.

Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Но тогда при объяснении вы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите,—- скажете вы в этом случае,—- ваш спидометр показывает 90». «Мой спидометр сломан и давно не работает»,—- ответит она. Но достаточно ли этого, чтобы поверить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как-то нужно было бы определять скорость и без помощи спидометра. Только при этих условиях можно сказать, что спидометр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра. Спидометр нужен только для того, чтобы измерять ее. Давайте посмотрим, нельзя ли придумать лучшее определение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, мадам, если бы выехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше». «Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 метров в секунду». «Да ведь это то же самое, что и 90 километров в час»,—- ответите вы. А если это то же самое, то к чему тогда все длинные разговоры о 25 м/сек? В действительности же падающий шар не может двигаться одинаковым образом даже 1 сек, так как он постоянно ускоряется, и, следовательно, нужно определить скорость как-то точнее.

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, который приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как и идущая с постоянной скоростью 90 км/час. Наши рассуждения о 25 м/сек, возможно, и правильны; мы отмечаем, сколько машина прошла в следующую секунду, и если получается расстояние 25 м, то это означает, что скорость достигает 90 км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим образом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как можно меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для падающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком сильно, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю секунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т. е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденного расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана независимо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики -— дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 км/час?»

Давайте вернемся к стреле: представьте, что полет стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное чудище, отснят на кинопленку. И мы остановили демонстрацию фильма где-то посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной из ее точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определенную высоту. Включим лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами застыл следующий кадр. Центр тяжести продлив свою трассу на крохотный кусочек, окажется в новой точке где высота подъема увеличилась. Обозначим это приращение высоты так "дельта эс". А заодно символом "дельта тэ" обозначим временной интервал между соседними , кадрами. Тогда средняя скорость подъема на этом участочке пути выразится нехитрой дробью дельта s/дельта t. Обратили внимание - скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше "дельта тэ", тем ближе значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор киноаппарата при съемке щелкал бы в тысячу раз чаще то промежуток времени между двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение "моментальной" скорости стало бы точнее. И все же до тех пор, покуда наша долька временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение "дельта эс" к "дельта тэ" дает лишь среднюю скорость между двумя моментами. А что, если сделать "дельта тэ" бесконечно малым? Иными словами, представив вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить ее к жестко сидящей первой точке? Тогда "дельта тэ" устремится к нулю. "Дельта эс" тоже. А их отношение? Оно станет все точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в момент времени, запечатленный на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения при дельта t, стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком "дэ эс по дэ тэ" и называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени). (ds и dt называются дифференциалами (от латинского слова "разница").

Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений - тангенс этого угла. Ведь что такое наши "дельта эс" и "дельта тэ", как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.

Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию - в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию - интегрирование. Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей - абсурд!

Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить "стрелу", пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище -- анализ бесконечно малых -- злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?

Если тело делимо беспредельно, говорил Зенон, то оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических "атомов" будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких "нулей" никогда не даст протяженного тела!

Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.

Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенопа ярлык "афизиков" ("лжеученых"), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было - худо ли, бедно ли - дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими...

Более Полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.

Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения. В своих "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки", Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею "неделимого". А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, -- чистейшей воды геометрический атомизм!

"Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, -- говорит профессор С. Я. Лурье в книге "Теория бесконечно малых у древних атомистов". -- Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Кавальери, а с Демокрита".

Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными. Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это -- нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа -- Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин - дифференциалов (ds и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t = ds/dt, стремящемся к нулю, -- невольно напрашивается вывод, будто "дельта тэ" стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а "дельта эс" к ds и к нулю! А все потому, что перед нами "ископаемые останки" атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших "атомов", как пределом для приращения "дельта эс" или "дельта тэ" будет уже не Нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел дельтаS/дельтаt=dS/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds, а предел дельтаt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла математика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, основательно подорванных Зеноном?

Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса "Что такое математика". Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин "дифференциал" прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку ds/dt.

Умение находить интенрал и производную, в сущности означает уговорить себя сделать переход, скачок. И первый раз это сделать трудно, в силу психологических причин. Что же касается ds/dt, то эта "дробь" в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего "нуля" в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формуле разности появляется сомножитель "дельта тэ". Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на "дельта тэ". Спорно, но зато удобно. Ведь это не возбраняется до тех пор, пока "дельта тэ" не равно нулю. Так "дельта тэ" исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остается еще одно "дельта тэ". Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе "дельта тэ" обращается в нуль. Так -- сложно ли, просто ли -- но для каждой функции удается ловким маневром миновать нелепость: ds/dt=0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы.

"Ни Ньютон, ни Лейбниц, -- говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, -- не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о "бесконечно малых величинах", о "дифференциалах" и т. д. Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма "бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых". Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание "непосредственно" объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу". Вот прямо так -- твердую основу, ни больше, ни меньше.

Ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть может, еще больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчетов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешенными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но все же протяженными "тельцами". Разлагая кривую на бесконечно большое количество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического "атома" -- точки.

Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяженный отрезок - трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек? Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, -- дело пустячное. Нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьез полагал, будто молчаливая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских "нигилистов"? Она еще в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической формальной сущности движения, а не о его физической видимости.

"Еще со времен Зенона и его парадоксов, - продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, - все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений а1, a2, a3... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значе-ний на числовой оси, то описание того, как х "приближается" к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, "следующей" за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие".

Итак, несмотря на плотное использование дифференциала и интеграла в прикладных науках, несмотря на соответствие расчетов практическим результатам, понятие "дифференциал" и тесно связанное с ним понятие "интеграл", взращенные на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности, то есть основания для их применения, в сущности, нет. Это ловкий прием выставления вопрошающего Зенона за двери современной математики. Послушаем профессора Лурье: "Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал еще Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия "дифференциал" и "интеграл" к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических "представлений". то есть, вместо интеграла, этой "почтенной реликвии атомистической эпохи", предлагается обойтись понятием предела суммы. А не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?

Профессор С. А. Богомолов в книге "Актуальная бесконечность": "В последнее время, уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова "Ахилл не догонит черепаху" на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела". И далее: "Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание ученых и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть... Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники...

Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.

Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддается объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца..."

К 80-м годам XVIII века анализ, который теперь называют классическим, уже стал зрелой наукой. Однако "Увлеченные необыкновенной силой новых приемов, легкостью, закономерностью, простотой, с которой достигалось решение все новых и новых задач, математики XVIII в. не заботились о том, насколько логически обоснованны те приемы, которые они применяли".[Л.С.Фройнман. Творцы высшей математики. М., 1968. С. 83-84] Перестройка математического знания из практически-прикладного в теоретическое стала делом следующего века. Развитие математики на протяжении XIX столетия характеризуется стремлением к систематизации, к установлению единства в многообразии математических фактов и методов, на первый взгляд весьма далеких друг от друга, а также критическим уяснением и стройным обоснованием фундаментальных понятий. Эти тенденции достигают наиболее полного выражения в арифметизации математики и формировании теории множеств.

[Когда-то в этой конфренции появлялся профессиональный математик, Борис Кулик,
http://vif2ne.org/nvz/forum/archive/8/8560.htm
и я не преминул задать ему вопрос: что лежит в основаниях математики, пусть хотя-бы первые три-четыре понятия. Удивительно, но он, кроме понятия множеств, не назвал ничего, что действительно пытались положить в ее основу исторически, а сделал упор на логические основания математики. Однако известно, что даже традиционной логической теории не хватает формальной строгости. Самое честное было бы ответить, что сегодня в основании математики лежит кризис :0) Кроме своего сайта, его статья лежит и здесь http://inftech.webservis.ru/it/ii/logic/ --And]

Под арифметизацией математики понимают "стремление свести все основные факты той или иной математической науки к числу, в конечном счете, натуральному".[Ф.А.Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. М., 1965. С. 35-36] "Начиная с "Арифметических исследований" (1801) Гаусса, крупнейшие математики XIX столетия активно разрабатывают теорию числа и предпринимают настойчивые усилия положить ее в основу всей математики, и, прежде всего, анализа. Аппарат дифференциального и интегрального исчислений был удобным инструментом для расчета механических движений и решения многих других задач, но не отличался достаточной строгостью ни в определении терминов, ни в доказательстве теорем. Наиболее уязвимой частью анализа были его расплывчатые и разноречивые логические основания. Методы более точных определений и строгих доказательств разрабатываются в XIX веке, когда широким фронтом развертываются и все более углубляются исследования оснований математики." [М.Клайн. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. С.199]

Все большую силу обретает убеждение, что "всякая, хотя бы и очень отдаленная теорема алгебры или высшего анализа может быть сформулирована как теорема о натуральных числах" [Р.Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат. Казань: Изд. Императорского университета, 1905. С. 5]. И математика XIX в. проделала этот сложный путь сведения всего содержания анализа к учению о натуральном числе. Кульминационным пунктом этого течения математической мысли было построение теории действительных чисел (Больцано, Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). Понятие числа постепенно осознается как фундаментальное понятие всей математики, и в частности - геометрии.

[Вот этого фундаментального понятия и не оказалось в числе первых у Бориса, что удержало меня от каких-либо дискуссий с ним, хотя с некоторыми положениями на его сайте можно согласиться, а по некоторым нет, впрочем, всё становится ясно по следующему ниже тексту. Кстати, такого понятия, как число, да еще в качестве основания математики, нет и в школьных учебниках. --And]

Ввиду методологической установки на арифметизацию математики особое значение приобрела задача обоснования арифметики. Важнейшую роль в ее решении сыграло становление теоретико-множественных представлений. Построение теории множеств, основным творцом которой стал Г.Кантор, явилось важнейшим итогом развития математики XIX столетия. К ее созданию вели различные течения математической мысли, но наиболее важным источником теоретико-множественных идей и методов были исследования по основаниям математики, главным образом исследования по обоснованию классического анализа и теории функций (теория тригонометрических рядов). Во второй половине XIX в. понятия анализа и теории функций постепенно переводятся на язык теории множеств. Основным понятием для последней является понятие актуально бесконечного множества. Создание теории множеств означало революцию в истории математики. А.Френкель расценивает завоевание актуальной бесконечности методами теории множеств как расширение нашего научного горизонта, не меньшее по значению, чем Коперникова система в астрономии и теория относительности или квантовая теория в физике. Теория множеств дала универсальный метод, ставший основой для последующего развития математики в целом.

Понятие актуальной бесконечности нужно разъяснить, хотя бы потому, что образованный человек должен представлять в общих чертах вехи развития математической мысли. Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чем же оно, это различие? Из-за психологической инерции бесконечность ассоциируется, как правило, с чем-то невообразимо огромным или далеким. Однако... Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.

Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Все плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. "Татуирование" бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг - поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были. Однако предположим, что все бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется "в наличии", так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить "иглоукалывание", но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причем для любой точки этого нового множества найдется место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств! Пусть теперь нам удалось "вытатуировать" на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, "всюду плотным". Иначе говоря, на нашем отрезке не найдется такого места, где бы мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Снова не верите? Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмем сторону квадрата и уложим ее на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придется аккурат на "вакантное" место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно "перенести" со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырех четвертушек и так далее - все это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путем множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдется свое место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно - и вдруг содержит "пустоты", уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров... И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки - рациональную и иррациональную - или установить порядок их чередования. Траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена -- словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия - все это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума - его несчетность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору. На первый взгляд, тут и открывать-то нечего: раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтешь. Ан нет, оказывается, есть и счетные множества, даром что бесконечные. Понятно, определение "счетный" здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу - эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое "пересчитать"? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6...

Кантор решил сравнить эти бесконечные множества. Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счетными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных). Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные множества счетны. Нет! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных, вместе взятых) неисчислимо. Оно несравнение богаче элементами (обладает большей мощностью), нежели множество одних рациональных точек. Доказать, что множество счетно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчетности того или иного множества - это значит, доказать, что такого правила нет и не может быть вообще. Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдется хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества. Этот смысл и вкладывается в слова "множество всех точек континуума неисчислимо". Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей - непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определенный количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придется рисовать сплошную линию - иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью, сплошностью. Этого, разумеется, не знал Зенон, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели "на одно лицо".

Почему "разумеется", Зенон не знал этого? Потому что основа теории множеств опиралась на совершенно фантастическую абстракцию -- актуальную бесконечность. Из замечательной теоpемы, доказанной в конце 70-х годов амеpиканцами Паpисом и Хаppингтоном, следует, что даже относительно пpостые аpифметические истины невозможно установить, не пpибегая к понятию актуальной бесконечности. Что это такое? Это категоpия уже внеаpифметическая. В аpифметике есть, конечно, бесконечность, но потенциальная (у Зенона) -- возможность к любому числу пpибавить единицу. Это не очень высокий уpовень абстpакции. Гусаp заявляет в опеpетте, что он может выпить шампанского сколько угодно и еще две бутылки - это и есть потенциальная бесконечность. Даже в случае с гусаpом мы почти готовы в нее повеpить: на то он и гусаp, чтобы всегда выпить "еще две бутылки". Hо если бы гусаp сказал, что он уже выпил бесконечное число бутылок, мы бы отнеслись к такому заявлению как к абсуpдному. А именно это и есть актуальная бесконечность - бесконечность, существующая как pеальный объект сpазу всеми своими элементами. Ясно, что в матеpиальном миpе она пpебывать не может. Hо в том дополнительном пpостpанстве, где паpит наша мысль, она существует, и не только существует, но, как удостовеpяет нас теоpема Паpиса-Хаppингтона, является необходимым источником твоpчества.

И все же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

Сближение математической теории множеств с логикой способствовала невиданная еще в истории математики степень абстрактности новой дисциплины. Уже у Кантора многие понятия относились к всевозможным объектам мышления (понятия множества, подмножества, взаимооднозначного соответствия, мощности и т.д.) и вследствие этого ставились в один ряд с общелогическими понятиями. У Дедекинда операция над множествами и законы этих операций превратились в формально-логические операции и их законы. Этот процесс сближения теории множеств с логикой углублялся и далее.

Сведение математики к арифметике, обоснование последней с помощью абстрактной теории множеств, понятия которой равнозначны по своей общности с понятиями логики, означало выход к логическому обоснованию математики. Этому немало способствовали успехи самой логики. Выдающееся место в ее развитии принадлежит "Основаниям арифметики" и "Основным законам арифметики, полученным при помощи исчисления понятий" Г.Фреге, а также ряду работ Пеано, Пирса и других логиков. Новая логика привлекает все больше внимание математиков, столкнувшихся в ходе исследований по основаниям математики с рядом собственно логических проблем. Это - задача логического обоснования числа как фундаментального понятия всей математики, вопросы непротиворечивости, независимости и полноты систем аксиом и др.

Одной из главных идей нового периода в развитии математической логики, получившего название "логистики", была мысль об изложении оснований математики на языке логики, что диктовалось возрастающей необходимостью более строгого обоснования результатов математических исследований. Перед лицом этой задачи существенной перестройке подвергается сама логика. Принципы и теоремы логики удается вывести из минимального набора аксиом и основных принципов. Так Фреге осуществил дедуктивное аксиоматическое построение самой математической логики, придав ей вполне современный вид (исчисление высказываний, исчисление предикатов). Иными словами, происходит дальнейшая формализация самой логики. Она принимает вид системы символов, допускающих определенные преобразования на основе четко сформулированных правил. Осуществляется синтаксический подход к логике. Она рассматривается как язык. Формируется мощный аппарат формализованного логического анализа.

Если в предыдущий период символическая логика мыслилась как отрасль математики, то теперь, наоборот, доминирует идея выводимости математики из логики. Крупнейший немецкий математик и логик Фреге применяет математическую логику в качестве метода обоснования арифметики. Так, средствами расширенного исчисления предикатов он формализовал теорию множеств. Определив математические понятия "числа" и "количества" в терминах логических понятий "класса" и "отношения" (правда, в определении этих терминов неявно присутствует тоже самое число), Фреге представил математику как продолжение логики. Дальнейшим развитием и наивысшей точкой этих усилий явилось трехтомное исследование Principia Mathematica (1910-1913) Рассела и Уайтхеда. С этого времени символическая логика становиться незаменимым средством исследования оснований математики.

К концу XIX в. были достигнуты уже настолько большие успехи в систематизации и строгом обосновании математики, что казалось: эта трудная работа близка к завершению. После работ Г.Кантора математиками, по словам Германа Вейля, владело убеждение, что "грандиозное здание анализа приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях".[Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934. С. 16] Эта картина напоминает ситуацию в физике, где к началу 90-х годов установилось мнение, будто стройное здание классической физики почти полностью завершено и остается подработать лишь кое-какие детали. И вопреки ожиданиям вскоре разразился "кризис в физике", поставивший под сомнение ее обоснование на базе механики Ньютона. Не менее драматичными были события и в математике.

Не успела теория множеств сформироваться в качестве самостоятельной науки, как возникло неожиданное препятствие. Уже при жизни Кантора, в период, когда ожидался небывалый триумф теории множеств, в ней обнаружили парадоксы или антиномии. Первый парадокс в 1895 г. установил сам Кантор и сообщил о нем в письме к Гильберту. Этот исторически первый парадокс теории множеств носит довольно специфический характер и относится к проблеме трансфинитных чисел. [Х.Карри. Основания математической логики. М., 1969. С. 22-23] В 1899 г. Кантор открывает еще один парадокс и сообщает о нем в письме Дедекинду.

У английского писателя Лоуренса Стерна есть роман "Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена". Это весьма своеобычный роман. Повествование ведется от первого лица, причем герою понадобилось целых двести пятьдесят страниц, чтобы описать свое появление на свет. Лишь в третьей книге мать Шенди разрешается от бремени Тристрамом, джентльменом, а в шестой маленький джентльмен впервые удостаивается чести быть облаченным в штаны.

О странном литературном персонаже вспоминает не кто иной, как Бертран Рассел. Предположим, говорит английский ученый, какой-нибудь новоявленный Тристрам Шенди будет затрачивать по году на описание каждого дня своей жизни. Сумеет ли он накропать мемуары? Не сумеет, это ясно: человек смертей. А если бы Тристрам Шенди стал вдруг бессмертным? Что тогда? Тогда каждый день найдет свое отражение в его необычной летописи. Другое дело - странное жизнеописание никогда не закончится. Но каждому дню найдется соответствующий год, причем количество дней и количество годов в их нескончаемой череде равны, вернее, равномощны. Это бесконечности одного класса. Точно так же последовательность всех четных чисел равномощна натуральному ряду, включающему и четные и нечетные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. А натуральный ряд равномощен множеству всех рациональных чисел. Как видно, правило "целое не равно своей части" утрачивает силу в странном мире бесконечного. А вот и другой вывод, еще пуще насмехающийся над немощью человеческой интуиции. Мы уже выяснили: континуум (совокупность всех без исключения точек отрезка) обладает гораздо большей мощностью, нежели редко стоящие на числовой оси метки натурального ряда или даже множество всех рациональных точек, плотное везде. Тем не менее совершенно неожиданным и поистине ошеломляющим выглядит такой Канторов итог: один ли ангстрем, один ли световой год содержат одинаковое "количество" (речь идет о бесконечном множестве) точек. Уму непостижимо, но бесконечная прямая вмещает не больше точек, чем конечный отрезок! И еще один сюрприз: трехмерная фигура (скажем, куб) не богаче точками, чем двумерная (квадрат), а двумерная поверхность - чем просто линия. Целых три года (с 1871 по 1874) Кантор пытался доказать, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. Мучительные поиски долго оставались безуспешными. И вдруг совершенно неожиданно для себя ученый пришел к совершенно противоположному результату! Он проделал то самое построение, которое считал неосуществимым. Потрясенный своим открытием, он написал математику Дедекинду: "Я вижу это, но не верю этому". А вскоре убедился, что не только квадрат, но и куб равномощен линии...

На рубеже XIX и XX столетий выяснилось, что логические рассуждения, которыми оперировал Кантор, ведут к неразрешимым противоречиям. Первый нокаут канторовские построения получили от итальянского ученого Бурали-Форти, сформулировавшего парадокс наибольшего порядкового числа. Однако настоящей сенсацией оказалась знаменитая антиномия Рассела, опубликованная в 1903 году и получившая широкую известность под названием "парадокса брадобрея".

Солдату приказали стать полковым цирюльником. Приказ строжайше предписывал брить тех и только тех, кто не бреется сам. За невыполнение -- смертная казнь. Солдат исправно нес нехитрую службу парикмахера ровно один день. На следующее утро, проведя ладонью по подбородку, он взялся за лезвие и кисточку, чтобы придать своим щекам былой глянец, но... вовремя спохватился. Начни он скоблить собственную щетину, быть ему в числе тех, кто бреется сам. И тогда он в соответствии с грозным распоряжением начальства не должен себя брить. Если же он откажется себя брить, то станет одним из тех, кто сам не бреется и кого как раз онто и обязан брить! Как же поступить бедняге брадобрею?!

На самом деле формулировка его более строга. Существуют множества, которые могут содержать сами себя в качестве элемента. Назовем их необыкновенными. Вчитайтесь, к примеру, в такое определение: "Множество А включает в себя все множества, которые можно определить предложением, содержащим меньше двадцати слов". Только что приведенная фраза содержит всего 15 слов. Значит, само множество А тоже является элементом множества А! Разумеется, перед нами курьезное исключение. Большинство совокупностей обыкновенны -- не содержат себя в качестве элемента. Давайте пока ограничимся только такими пай-множествами, которые вроде бы не сулят никакого подвоха. И рассмотрим множество всех обыкновенных множеств. Обозначим его буквой М. Предлагается ответить: само М - обыкновенное или необыкновенное? Бесспорно, оно должно быть либо тем, либо другим - третьего не дано. Допустим, что М - обыкновенное множество. Тогда оно должно содержать себя в качестве элемента: ведь М, по определению, множество всех до единого обыкновенных множеств) Но если оно включает самое себя, значит, перед нами необыкновенное множество. Что же получилось: необыкновенное М входит в множество всех обыкновенных множеств? Но ведь мы же договорились вообще не иметь дела с необыкновенными множествами! М, по определению, не имеет права одновременно входить в множество всех и одних только обыкновенных множеств! Остается одно: объявить множество М обыкновенным и... начать сызнова "сказку про белого бычка". Парадоксы теории множеств заставили математику ревизовать свои логические устои.

За открытием этих двух парадоксов абстрактной теории множеств последовала целая серия других.[С.Клини. Введение в метаматематику. М., 1957. С. 40-43] Одной из задач своей научной деятельности Кантор считал устранение парадоксов, но это ему не удалось: число парадоксов с течением времени не только не уменьшалось, но, напротив, продолжало возрастать. Подавленный неудачей, Кантор в течение последних двух десятилетий жизни ничего не публиковал. Весьма шокирован был открытием парадоксов и Дедекинд. Ситуация, в самом деле, была обескураживающей. Один из крупнейших математиков XX столетия Давид Гильберт высказался по этому поводу: "...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике -- этом образце достоверности и истинности -- образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?".[Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С.349]

Кризис оснований математики поставил на повестку дня ряд важных философских, методологических и логических проблем математики. Наиболее острым из них был вопрос о причинах и способах устранения парадоксов. Вначале полагали, что парадоксы не составляют сколько-нибудь серьезной опасности и их вскоре удастся преодолеть. Ведь постоянное возникновение и разрешение противоречий-антиномий - общеизвестный факт истории науки. Но в данном случае дело оказалось серьезнее: вместо устранения трудностей, как бы в насмешку над математиками, обнаруживались все новые и новые парадоксы. Помимо парадоксов логики и математики (логические) бы открыт также ряд семантических парадоксов.[Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. с. 8.] Антиномии этой группы содержат понятия именования, определения, истины и другие, принадлежащие гносеологии, семантике и т.д.

Безуспешные попытки разрешить парадоксы постепенно укрепили убеждение одной из групп математиков, что дело упирается в переосмысление ряда принципиальных идей математики и отказ от некоторых старых концепций. Прежде всего, парадоксы поставили их "перед проблемой перестройки теории множеств на совершенно измененной основе",[С.Клини. с. 42] в частности потребовали уточнения понятия множества. Более того, возникла необходимость самого тщательного анализа логики рассуждения, логических механизмов языка, ибо сам собой напрашивался вывод: "...логика в том интуитивном виде, какой она имела в конце прошлого столетия, не годится в качестве четкого критерия строгости математического доказательства".[Х.Карри. с. 26]

Обнаружение на рубеже XIX-XX вв. парадоксов теории множеств неожиданно выявило шаткость логического фундамента всей добротно выстроенной к тому времени классической математики. Это послужило новым стимулом для тщательной логической экспликации ее основ. Если в XIX в. исследования оснований математики стимулировались потребностями ее теоретической проработки, систематизации, -- то в XX веке ситуация драматизируемая обстоятельствами кризиса оснований математики, -- и тут уже становится главным разрешение возникших трудностей, восстановление былой надежности и достоверности математического знания. Возникают различные направления обоснования математики. Таким образом, определились три ведущие программы: логицизм, связанный с именами Фреге, Рассела; формализм, персонифицированный Гильбертом, и интуиционизм, теоретиком которого выступил Брауэр. Позже набирает вес конструктивное направление.

Исходный импульс программе логицизма дал Фреге. Опубликовав в послесловии ко второму тому "Основных законов арифметики" антиномию Рассела, он впервые указал на связь такого рода противоречий с характером употребления языка. Постепенно эта связь осознавалась все отчетливее. Если в логических парадоксах, включающих только логические и математические термины, эта связь несколько завуалирована, то в семантических антиномиях она выступает явственно. Такие парадоксы, по мнению логиков, возникают из-за двусмысленных и неопределенных выражений естественного языка и поэтому требуют особого логического анализа языка. Поставленный в такой форме "диагноз" недуга побудил к скорпулезному логическому анализу оснований математики и активному поиску средств ее логического "врачевания".

Далее разработку логицизма взял на себя Б.Рассел. Изучая открытый им в системе Фреге парадокс, он пришел к построению оригинального варианта аксиоматической теории множеств и к последующей попытке сведения математики к логике. Изучение причин парадоксов и поиск выхода из них Рассел тесно связал с разработанными им идеями логического языка. Отсюда, из логического анализа оснований математики, ведет свое начало столь характерное для XX в. направление исследований, как анализ языка науки. У истоков исследований языка науки стояли Фреге и Рассел. Именно они поставили те серьезные, животрепещущие вопросы, на решение которых в последующие десятилетия (и по сей день) направленно так много усилий логиков, лингвистов, философов.

Поиску выхода из тупиков для математики Б.Рассел отдал без малого двадцать лет напряженной работы, увенчавшейся созданием - в соавторстве А.Уайтхедом -- капитального трехтомного исследования Principia mathematica. Авторы стремились осуществить замысел Фреге о сведении чистой математики к логике, наведя более строгий порядок в самой логике. Выход из логических парадоксов, казалось бы, был найден в четком разделении логических типов (категорий) и установлении запретов на такие подстановки аргументов, которые ведут к бессмысленности логических функций.

Австрийский математик Курт Гёдель в это же время намеревался построить исчерпывающую и непротиворечивую теорию чисел (она имеет отношение и к парадоксам Зенона. Ведь любое число можно изобразить точкой на отрезке и наоборот - любой точке сопоставить число). Вы думаете, ему это удалось? Напротив, в 1931 году он доказал теорему: в любой достаточно полной логической системе можно сформулировать предложение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть логическими средствами этой системы! А непротиворечивость любой системы нельзя доказать средствами этой системы...

Теорема Гёделя легла в основу целого направления в математике и логике. Сама математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала предметом изучения особой "надматематической" науки, названной метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа истины? На каких посылках зиждется сам фундамент математики? Какой смысл имеют математические предложения: аксиомы, леммы, теоремы? Какую логическую структуру должны иметь доказательства? Так попытки разрешить парадоксы столкнулись с более широкой проблемой обоснования математики и логики.

Теперь, после Гёделя, под ударом серьезной критики уже оказывается программа логицизма Б.Рассела. Отсюда, правда не следовало, что она всецело ошибочна и бесполезна, однако стало ясно: логицизм не дает радикального выхода из "кризиса в математике", что связывавшиеся с ним надежды на "логический рай" тщетны.

Насколько окрыленными идеями логицизма были ученые, можно увидеть в высказываниях на закате жизни блестящего дипломата и гениального математика Готфрида Вильгельма Лейбница. "Когда я, будучи мальчиком, знакомился с предложениями обычной логики и мне еще была незнакома математика, у меня возникла, не знаю, по какому наитию, мысль о том, что можно изобрести такой анализ понятий, с помощью которого истины можно будет комбинировать и высчитывать как числа". Великий немецкий реформатор считал, что наши знания можно разложить на простые элементы. Обозначенные особыми символами, , они составят алфавит человеческих мыслей. Спрашивается, зачем? "Споры не придут к концу, ежели не отказаться от словесных рассуждении в пользу простого исчисления, - объяснял Лейбниц, - ежели не заменить слова неясного и неопределенного смысла однозначными символами. После введения оных двум философам, буде возникнет между ними препирательство, уже не надобно стараться перекричать друг друга. Спорщикам не потребуется ничего иного, кроме как взять в руки перья, сесть, подобно бухгалтерам, за свои конторки и сказать: давайте-ка вычислять!" Лишь через полтораста лет началось осуществление идей Лейбница. В 1847 году ирландский ученый Джордж Буль печатает "Математический анализ логики", где впервые излагает исчисление высказываний - так называемую алгебру логики.

Другой школой обоснования математики, школой отчасти вышедшей из логицизма стал формализм. Его принципы были разработаны талантливым математиком и логиком Давидом Гильбертом (1862-1943гг.) в 1922-39 годах во "спасение" классической математики от антиномий. Начальный вариант программы формализма был изложен Гильбертом в "Основах теоретической логики" (в соавторстве с В.Аккерманом, 1928). Необходимо заметить, что под формализмом традиционно понимается предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием. Формализм в логике и математике отталкивался от представления, что чистая математика есть "логический синтаксис" - наука о формальных (не наделенных конкретным смыслом) структурах символов. Одной из своих целей школа ставила доказательство того, что манипуляция символами по строгим правилам не дают противоречий, что весьма сближало ее с логицизмом. Вначале концепция формализма была еще во многом наивной. Позднее Гильберт предложил более продуманный и обширный план обоснования математики путем ее полной формализации.[Д.Гильберт, П.Бернайс. Основания математики (Логические исследования и формальная арифметика). Т. 1. М.: Наука, 1979] Решение задач обоснования логики и математики он связал теперь с метаматематикой (специальной теорией доказательства), позволяющей придать обеим дисциплинам вид исчислений. Для этого метаязык - для доказательства непротиворечивости выбранной системы аксиом теории множеств - должен включать в себя лишь финитные (конечные) средства выражения и дедукции, притом средства абсолютно безупречные по ясности и убедительности. Иначе говоря, непротиворечивость должна достигаться ценой отказа от каких бы то ни было намеков на понимание актуальной бесконечности, которая как выяснилось, была "повинна" в возникновении антиномий. Гильбертом и его школой (П.Бернайс, В.Аккерман, Г.Генцен и др.) был получен ряд важных результатов в разработке проблем теории доказательства, в нахождении методов проверки полноты, непротиворечивости систем аксиом и др.

Однако формализм столкнулся с теми же серьезными трудностями, что и логицизм. И это неудивительно, поскольку программы эти во многом близки: в обеих возлагались большие надежды на строго аксиоматическое построение основ математики (идеал логической строгости, уходящий корнями еще в античность) и полную формализацию знания (его выражение в искусственной символике и подчинение всех преобразований знаковых выражений четко выявленным правилам). Но вскоре обнаружился серьезный кризис обеих программ, разразившийся после публикации известной статьи К.Гёделя "О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных ей систем". Его важнейший результат, полученный в 1931 году и изложенный в названной работе, - доказательство принципиальной неполноты достаточно богатых формальных систем (в том числе арифметики натуральных чисел и аксиоматической теории множеств). Гёдель показал, что в таких системах (при условии их непротиворечивости) имеются истинные предложения, которые в их рамках не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. Иначе говоря, результаты Гёделя опровергали центральную предпосылку и логицизма и формализма, допускавшую, что для каждой отрасли математики может быть указана совокупность аксиом, достаточных для выведения всех остальных положений. Гёдель же с бесспорностью доказал, что аксиоматический метод имеет внутренние ограничения.

Гёделевская работа была для своего времени чрезвычайным научным событием, мимо которого невозможно пройти. Идеи логицизма, подкрепленные Principia mathematica, владела умами многих логиков, математиков, философов науки в течение трех десятилетий, и неоспоримые открытия Гёделя не могли не вызвать потрясения. Правда, революционное значение гёделевской работы было понятно не сразу. Но совершенно очевидно, что она была причастна к подрыву слепой веры в аксиоматический метод и формализацию. Из работ Гёделя следовало, по крайней мере, два вывода: 1) что для большей части математики невозможна окончательная аксиоматизация; 2) что для многих важных отраслей математики не существует бесспорного доказательства их внутренней непротиворечивости. Понятно, что результаты Гёделя явились кульминационной точкой формалистических дискуссий. И, хотя эти результаты убеждали в том, что цель формализма иллюзорна, авторы программы сначала не сдавались. В первом томе своей книги (1934) Гильберт и Бернайс обещали преодолеть трудности, порожденные теоремой Гёделя и разъяснить это во втором томе.[Д.Гильберт, П.Бернайс. Основания математики (Логические исследования и формальная арифметика). Т. 1. М.: Наука, 1979. С. 19] Однако время шло, и все яснее осознавалась иллюзорность надежд на строго логическое обоснование математики, каким оно мыслилось в программах логицизма и формализма. Но, с другой стороны, работа Гёделя давала надежду, что математические теоремы, недоступные строгой аксиоматизации, могут быть, тем не менее, установлены менее формальным математическим (содержательным) рассуждением. Этот вывод имел серьезный философский смысл и предполагал далеко идущие следствия - отказ от многих иллюзий в понимании природы математики, формирование более реалистической концепции математического знания.

Сторонники философского направления в математике и логике, именуемого интуиционизмом, подошли к задаче обоснования математики менее ортодоксально, чем теоретики логицизма и формализма. Эта программа, основателем которой был голландский математик Лейтцен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966гг.), а его последователями - Г.Вейль, А.Гейтинг и др. - ориентировались на исследование умственных математических построений. Они отрицали базисный характер логики по отношению к математике, а последним основанием математики и логики признавали интуитивную убедительность. Постулатом здесь стала мысль о том, что возможность "построения" бесконечного числового ряда есть "базисная интуиция" человеческого сознания. В основу своего подхода к математике интуиционизм кладет понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математических объектов как принципиальной возможности их построения. При этом была решительно отвергнута идея актуальной бесконечности, одна из основных в классической математике и логике. Интуиционизм возник на рубеже XIX-XX вв. как реакция на теорию множеств Г.Кантора, в которой идея актуальной бесконечности нашла наиболее полное выражение. Сформировавшийся в обстановке кризиса оснований математики, интуиционизм подверг острой критике классическую математику, что усугубило кризис и способствовало широкой постановке проблемы обоснования и логики. В программе интуиционизма акцентировалась не столько идеальная ("божественная"), сколько человечески земная, социальная природа всякого, в том числе и математического познания. С 1904 года Брауэр последовательно проводил критику так называемых чистых математических доказательств существования, опирающихся на логический принцип исключенного третьего. Это в конечном итоге и положило начало математическому интуиционизму как целому направлению в обосновании математики. Но проведенный Брауэром анализ существования оказался ценным и не зависимо от философии интуиционизма,- с точки зрения конструктивного построения тех объектов, существование которых доказывается. Идеи Брауэра нашли реальное осуществление в логике конструктивного решения математических проблем. Однако ни интуиционизму, ни конструктивизму не удалось завершить намеченную ими программу перестройки математики. С точки зрения крайнего интуиционизма основополагающие теоремы анализа и следствия из них, в которых использовался принцип непротиворечия, примененный к бесконечным множествам, и аксиома выбора, отвергались как неприемлемые. Перестройка анализа и других, хорошо зарекомендовавших себя областей математики на иной конструктивной основе происходила, крайне медленно, в результате которой конструктивный анализ оказался намного "беднее", чем его классический прототип, а методы доказательства невыносимо громоздкими. С этим, конечно же, не могла смириться большая часть творчески работающих математиков. Имея в виду медленный прогресс и ограниченность конструктивистского направления, математики из школы Бурбаки заметили: "Интуиционистская школа, о которой математики вспоминают как о своего рода историческом курьезе, во всяком случае, оказала услугу математике тем, что заставила своих противников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни - логического порядка, другие - психологического) их веры в математику".[Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 53]

Наиболее остро, как уже говорилось, кризис оснований математики проявился в обнаружении противоречий. Это вызвало буквально психологический шок, повергло в отчаяние крупнейших исследователей оснований математики Кантора, Дедекинда, Фреге и др. Состояние растерянности оказалось затяжным. Даже много лет спустя после опубликования Расселом своего знаменитого парадокса, Г.Вейль с горечью отмечал: "Сейчас мы менее чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой "кризис" подобно тому, как переживают его все и вся в современном мире. Кризис этот продолжается вот уже пятьдесят лет (эти строки написаны в 1946г.). На первый взгляд кажется, будто нашей повседневной работе он особенно не мешает. Тем не менее, я должен сразу же признаться, что на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно "безопасными", и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно, разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятельность занимает в этом мире в общем контексте бытия человека, интересующего, страдающего и созидающего"[М.Клайн. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. с. 387].

> >Теорема Геделя о неполноте показывает, что никакая система аксиом не содержит всех аксиом для доказательства.

> Опять не так. Во-первых, выражение: "не содержит всех аксиом для доказательства" - не имеет смысла, ибо не существует просто "доказательства", а всегда речь идет о доказательстве чего-то конкретного.

Снова голословное утверждение: "не имеет смысла". Одним из наиболее значимых методов математики является метод доказательства. "Доказательство в широком смысле -- это любая процедура установления истинности какого-либо суждения как при помощи некоторых логических рассуждений, так и посредством чувственного восприятия некоторых физических предметов и явлений" [Философский энциклопедический словарь /Гл. редакция: Л.Ф.Ильичев, П.Н.Федосеев, С.М.Ковалев, В.Г.Панов - М.: Сов. Энциклопедия, 1983., c.173]. В математике доказательство - "рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы)" [Математический энциклопедический словарь /Гл. ред. Ю.В.Прохоров. - М.: Сов. Энциклопедия, 1988, c. 211]. К настоящему времени понятие доказательства претерпело определенную эволюцию. Оно теперь в большей степени принадлежит логике, лингвистике и больше всего - психологии, математике принадлежит лишь его математическая модель - формальное доказательство. В.А.Успенский вводит следующее определение понятия доказательства: "Доказательство - это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других" [Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики /Закономерности развития современной математики. - М.: Наука, 1987, c.140]. С.С.Демидов указывает, что "доказательность математических рассуждений также в конечном итоге есть их убедительность. То, что нам казалось убедительным вчера, уже не кажется таким сегодня" (цитируется по той же кн., с. 145).

Итак, подставив поределение термина доказательство в мою фразу, получим: "никакая система аксиом не содержит всех аксиом для [процедуры установления истинности какого-либо суждения как при помощи некоторых логических рассуждений, так и посредством чувственного восприятия некоторых физических предметов и явлений]. Это именно то, что я и хотел сказать. Вполне понятный смысл.

> А во-вторых, Гедель четко указывает, какие именно системы аксиом неполны.

> >Любая система аксиом неполная.

> Данное утверждение имеет логическое значение false.

Это формальное утверждение в Вашей системе мышления, не так ли? :)

> Пример: система аксиом Евклидовой планиметрии (которую все изучали в школе) - полна.

Голословное утверждение.

Первый и наиболее значительный английский перевод «Начал», выполненный Генри Биллингсли, был издан в Лондоне в 1570 г. Он состоял из 928 страниц большого формата, не считая обширного предисловия. Чертежи к стереометрическим предложениям были выполнены дважды: на полях, в обычном виде, и на отдельных листах бумаги, приклеенных к краям страниц. Отвернув такой лист, можно было сложить из него соответствующую фигуру и узнать, как она выглядит. Мы про такие книги уже и забыли. Сегодня "Начала" Евклида обычно помешаются в 13 томах.

Сочинение Евклида открывается перечнем определений. Приведем некоторые из них, сохранив нумерацию, принятую в оригинале.
"Определения.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же — длина без ширины.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

8. Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий в плоскостях, встречающихся друг с другом, но не расположенных по (одной) прямой.

9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то 'угол называется прямолинейным.

10. Когда же прямая, восставленная на (другой) прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к. той, на которой она восставлена".

Пропустим несколько определений.

15. Круг есть плоская фигура, содержащая внутри одной линии (которая называется окружностью), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие (на окружность круга) прямые равны между собой.

16. Центром же круга называется эта точка.

17. Диаметр же круга есть какая угодно прямая; проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам".

И последнее:

23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолженным
ми в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с
другой стороны между собой не встречаются.

Теперь приведем «Постулаты» Евклида.

"Допустим

1. Что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую (можно) непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг.

4. И что всякие прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых".

Вводную часть «Начал» завершают «Общие понятия» (аксиомы):

"1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
[...]
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части".

Доказываемые утверждения Евклид называл предложениями, а мы называем теоремами. В одних случаях предложения, по мнению Евклида, очевидны и ослу (то, что Евклид обращается именно к этому животному, часто вызывало нарекания), в других — почти недоступны воображению.

Так, доказывая, что сумма двух любых сторон треугольника всегда больше третьей стороны, Евклид предлагает поместить в одну вершину треугольника осла, а в другой вершине положить охапку сена. Чтобы добраться до сена, ни одному ослу не придет з голову обходить две стороны треугольника.

[Вы не слышали в школе о способе показывать теорему через осла, quest?]

Нетрудно видеть, что в Определении 17 содержится теорема о том, что диаметр окружности делит ее пополам. Комментатор Евклида Прокл, приписывая эту теорему Фалесу Милетскому, замечает:

„Причина, по которой диаметр делит окружность пополам, заключается в неуклонном следовании прямой через центр, ибо поскольку прямая проходит через середину и во все фазы движения воздерживается от отклонений в любую сторону, то по обе стороны прямая отсекает дуги окружности равной длины". Прокл считает необходимым сделать следующую оговорку: „Если ты хочешь доказать это математически, то представь себе мысленно, что диаметр проведен и одна часть окружности наложена на другую. Если они не равны, то она окажется либо внутри, либо снаружи другой части. И в том и в другом случае более короткий отрезок оказался бы равным более длинному, ибо все отрезки, идущие от центра к окружности, равны". При доказательстве Прокл ссылается на то, что одну часть окружности следует зеркально отразить относительно диаметра и сравнить ее
образ с другой частью окружности. Центр окружности при отражении остается неподвижным, поэтому любое различие между двумя частями окружности означает лишь, что какие-то точки на окружности расположены на меньшем или большем расстоянии от центра, чем они могут находиться. Следовательно, обе части окружности — отраженная и другая — должны совпадать.

[quest, найдите, пожалуйста аксиому у Евклида о зеркальном отражении. --And]

Если дополнить это рассуждение кое-какими пояснениями относительно зеркального отражения (или осевой симметрии), то доказательство будет совершенно строгим.

Приведенный выше пример доказательства не Евклида, а Прокла. А вот и сам Евклид.

Предложение 1: на данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.

„Пусть данная ограниченная прямая будет АВ. Требуется на прямой АВ построить равносторонний треугольник.

Из центра А раствором АВ опишем круг ВСD (Постулат 3), и далее из центра В раствором ВА опишем круг АСЕ (Постулат 3), и из точки С, в .которой круги пересекают друг друга, проведем к точкам А и В соединяющие прямые СА, СВ (Постулат 1). И поскольку точка А есть центр круга СDВ, то АС равна АВ (Определение 15); далее, поскольку точка В — центр круга САЕ, то ВС равна ВА (Определение 15). Но уже было показано, что и СА равна АВ, значит, каждая из СА, СВ равна АВ. Но равные одному и тому же равны и между собой (Аксиома 1), значит, и СА равна СB. Значит, три прямые СА, АВ, ВС равны между собой. Значит, треугольник АВС равносторонний (Определение 20) и построен на данной ограниченной прямой АВ (значит, на данной ограничен- ной прямой построен равносторонний треугольник), что и требовалось показать".

Каждый шаг в доказательстве кажется обоснованным ссылкой на постулаты, определения, общие понятия, но... А где, собственно, доказано, что точка С, в которой пересекаются окружности, действительно существует? Сказать, будто это очевидно даже ослу, означает нарушить правила игры, а если нельзя доказать, что окружности пересекаются, то самый факт их пересечения необходимо включить в число постулатов или аксиом. Но это еще не все. Евклид молчаливо предполагает ряд свойств длины, например, такие, как АВ == ВА, не формулируя их в явном виде, в виде аксиом.

Напоследок можно указать, что Гильберт разработал адекватную систему аксиом, на которой можно было возвести всё здание евклидовой геометрии, но она оказалась так сложна и громоздка, что ее нельзя было преподавать в средней школе.

[Интересно, зачем это Гильберту понадобилось заново сочинять аксиомы, если евклидовы полны? А, quest? --And]

> Гедель доказал, что в любой аксиоматической теории, ВКЛЮЧАЮЩЕЙ В СЕБЯ АКСИОМЫ ФОРМАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ, существует утверждение, которое в рамках этой теории нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Во-первых, значение, которое Вы вкладываете в ФОРМАЛЬНУЮ АРИФМЕТИКУ, какое-то абсолютное. Между тем, в теореме Гёделя говорится просто о языке, достаточно богатой формальной системе, а в частности, это может быть арифметика. Во-вторых, из Вашего предложения следует, что сама формальная арифметика (как формальная система) -- причина невыводимости ни утверждений (теорем), ни их отрицаний из аксиом. Единственное, что нужно отметить, это специфика конструкции доказательства. Она требует необходимости включения в список аксиом исходной формальной системы, которые не должны быть противоречивы, и группы аксиом натуральных чисел. Оба этих требования четко ограничивают применимость выводов этой теоремы областью непротиворечивых формальных систем научного знания, в предметную область которых входят числовые величины. Но для существующих научных областей знания ни для одной из них, включая и математику, еще не удалось доказать непротиворечивость, а требование включения в качестве предмета -- числовых величин ясно указывает на то, о каких наука должна идти речь. Например, экономика, физика, математика, химия...

> Это в чистом виде теорема существования! Доказывается существование объекта, но сам объект не указывается, как не указывается и способ его построения. В той же арифметике, конечно, есть кандидаты не роль недоказуемых утверждений. Например, долгое время многие математики подозревали, что Большую Теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Ведь ее около двухсот лет пытались доказать лучшие математики мира. И, - безуспешно. А четыре года назад она была доказана! В отдельных разделах математики (аксиоматических теориях), удовлетворяющих условиям теоремы Геделя о неполноте, найдены недоказуемые утверждения. Но далеко не во всех.

> Более того, из той же теоремы Геделя следует, что можно расширить аксиоматическую теорию, как недоказуемым утверждением, так и его отрицанием, БЕЗ УЩЕРБА ДЛЯ ТЕОРИИ! Что говорит просто об отсутствии пределов развития таких теорий.

Эта фраза не содержит никакого познавательного смысла. Просто нужно вводить те утверждения, которые удобны, неважно, что они недоказуемы, и теория расширяется. Ну а кто будет спорить? Если надо, значит надо. Гедель показал, что формальная система либо непротиворечива и неполна, либо противоречива и полна. Любой может взглянуть на эту легендарную теорему и убедиться, что она проста, как табуретка и доступна человеку со школьным багажом знаний. http://metaphysis.narod.ru/things/tavrov/alexandrian/a_p.htm

> Согласитись, что это несколько отличается от:

> >То есть истина, возможно, и есть, но формально и строго обосновать ее существование нельзя.

Соглашаюсь.

> Не стоит, так вольно с математикой! Это - не политология :-)

Скорее, не стоит выносить узкоспециальные самоуверенные суждения на политологический форум, потому что на нем могут востребовать оснований для целой науки, а это выходит за пределы самой науки, откуда пытается вещать в гордом одиночестве узкий специалист :0) Когда политикам понадобится спросить математика, которого они финансируют, они вызовут его на ковер и хорошенько спросят.

> Best regards, Quest.

И вам того же,
Андрей Куликов.

PS: Времени на математическую дискуссию, как на тему дарвинизма, у меня нет. Но в прикладном значении, скажем, в задачке Нетрезвилова, на основе вышенаписанного каждый может попробовать свои силы в формализации в математическую модель происходящего. Могу только сказать, что преодолеть психологический барьер и сказать, что математическая формализация этой задачи приводит к нелепости, может только очень зрелый и уверенный в себе человек, освободившийся от догм и вполне доверяющий своим собственным рассуждениям, если их еще не отняло всеобщее суеверие...

PPS: Евклид ошибался?

Спорить действительно незачем. - quest 20.06.2001 23:06:13 (7195 b)