От Руднев
К Alex~1
Дата 26.01.2007 14:09:11
Рубрики В стране и мире;

Re: По моему

>>Иррациональное число нельзя использовать как основание системы счисления, т.к. грубо говоря это объект бесконечной длины.
>
>Иррациональное число - это объект бесконечной длины? Не понял. Это как?
>Если Вы имеете в виду, что иррациональное число в позиционной системе исчисления по рациональному основанию можно представить только приближенно, то это действительно так.

если уж совсем точно, то множество рациональных чисел составляет максимально плотное подмножество поля действительных чисел. Т.е. любое действительное число (иррациональное) можно представить в в иде суммы рациональных со сколь угодно большой точностью = точно.

>И Вы из этого делаете вывод, что рациональные числа "лучше", чем иррациональные? Хотите, я таким манером буду утверждать, что именно иррациональные числа "лучше" рациональных? :)

Ну нет, конечно. Ни лучше, ни хуже.

>Бесконечная длина здесь вообще не при чем. Корень из двух имеет конечное представление в системе по основанию корня из двух. Самое что ни на есть рациональное число - 1/3 - объект бесконечной длины что в двоичной, что в десятичной системе исчисления. И ничего, работаем на компьютерах, не жалуемся. :)

Это все понятно. Только с 1/3 не правы - это как раз объект конечной длины, если учитывать период. А т.к. всякое рациональное число - число периодическое, то в каком-то смысле оно "конечное", тогда как иррациональное число - число нерегулярное, что и бесконечно "удлиняет" его. М как от арифметик круговых и высших целых (в которых детерминанты кстати могут быть и комплексными числами) вы переходите к компьютерам? В любом случае реализация этих арифметик будет поверх арифметики натуральных чисел, которая в свою очередь будет сведена к областям машинной памяти, выделяемым под то или иное число. А это уже не "числа" :)

>Ну не отличаются принципиально рациональные числа от иррациональных. Разве только тем, что пространство рациональных чисел является полем, а иррациональных - нет (что, кстати, гипотетически означает большую универсальность и меньшую ограниченность). Поскольку в компьютерах представление даже рациональных чисел приблизительно, то разницы нет никакой. Непривычно, да, есть такое дело. Для подсчета корзин с зерном (или отрезанных ушей врагов :)) не слишком удобно. Но для целого класса задач - очень удобно.

В действительности правильно было бы говорить о разнице так - множество рациональных чисел счетно, тогда как множество иррациональных чисел - несчетно. Множество рациональных чисел составляет множество меры 0 в поле действительных чисел. Разница только в этом. Принципиальной же разницы конечно нет. С другой стороны "число" в компьютере может сколь угодно большую длину как "область машинной памяти" - и оно может быть при этом целым, рациональным, иррациональным, комплексным, р-адическим и т.п. - вопрос интерпретации зависит от класса объекта и совокупности методов, к нему применимых. От программы. От задачи. Так что дело не только в удобстве...

>Кстати, есть простая геометрическая задачка - как построить с помощью циркуля и линейки отрезок, длина которого выражается иррациональным числом. :) Некоторых она ввергает в ступор. :)

провести диагональ в квадрате единичной площади.

>>Вычислительное устройство может оперировать лишь целыми числами.
>
>Ну уж прям. :) Оно может оперировать числами с конечной точностью из представления - это я согласен. Под топор попадают как рациональные, так и иррациональные числа.

Не будем спорить о терминах. В конце-концов, как интерпретировать тот иной кусок машинной памяти, зависит от владельца этого куска :)
От serge
К Руднев (26.01.2007 14:09:11)
Дата 26.01.2007 22:38:04

Re: По моему

>если уж совсем точно, то множество рациональных чисел составляет максимально плотное подмножество поля действительных чисел. Т.е. любое действительное число (иррациональное) можно представить в в иде суммы рациональных со сколь угодно большой точностью = точно.

Ну почему же. Это таки поле. А плотность в чем либо - это уже совсем другой вопрос - для этого нужно ввести на множестве какую-нибудь топологию, что для поля вовсе не обязательно.
От Alex~1
К Руднев (26.01.2007 14:09:11)
Дата 26.01.2007 14:22:30

Re: По моему

Как я понимаю, нет у нас особого расхождения применительно к теме данной ветки. :)
От Руднев
К Alex~1 (26.01.2007 14:22:30)
Дата 26.01.2007 16:28:55

Re: Совершенно верно

С другой стороны, мне стало понятно о-чем-сыр-бор :)