От alex~1
К alex~1
Дата 27.10.2003 16:41:17
Рубрики Тексты;

Для тех, кто согласен с решением Павла - II часть.

Теперь возьмем наблюдателя, который движется равномерно прямолинейно в направлении движения груза со скоростью

u = sqrt (2*g*h).

Как говорится, ежу ясно, что для такого наблюдателя до начала движения груза по наклонной стороне груз имел и потенциальную энергию (mgh), и кинетическую (m(-u)**2/2).
А после скатывания на плоскость не осталось ни потенциальной (h = 0), ни кинетической, так как груз "догнал" наблюдателя и стал неподвижен относительно него.

Что будем делать с законом сохранения энергии? :)
От Александр Т.
К alex~1 (27.10.2003 16:41:17)
Дата 26.11.2003 21:17:40

Re: Для тех,...

Решение, предложенное Павлом, верно* при неявно сделанном предположении о бесконечной массе плоскости. В идеале следует считать массу трапеции (жестко скрепленной с плоскостью) пренебрежимой малой (т.е. нулевой). А чтобы получить ускорение свободного падения (т.е. напряженность гравитационного поля плоскости) равным g, следует считать, что масса, приходящаяся на единицу площади плоскости, равна g/(2\pi\gamma), где \pi - число пи, \gamma - постоянная тяготения. Тогда мы имеем взаимодействие двух объектов - материальной точки массой m и плоскости с трапецией, имеющих вместе бесконечную массу. В предложенной Вами системе отсчета сумма полных энергий этих объектов равна бесконечности (из-за кинетической энергии плоскости с трапецией - бесконечная масса, умноженная на половину квадрата ненулевой скорости) как в начальный момент времени, так и во все последующие моменты. Таким образом, если считать законным значение энергии равной бесконечности (и соответствующие математические свойства бесконечности (конкретно, \infty+c=\infty)), то полная энергия все время равна бесконечности, т.е., закон сохранения энергии выполняется. В системе отсчета, в которой плоскость покоиться, сумма полных энергий равна mgh и также сохраняется. То, что при переходе от одной системы отсчета в другую полная энергия изменяется (т.е., что энергия не является инвариантной величиной при переходе из одной системы отсчета в другую) - широкоизвестный факт (как оказывется, в довольно узких кругах).

Если это покажется неубедительным из-за привлечения значения энергии, равной бесконечности, то можно вначале решить задачу о взаимодействии конечного параллелепипеда с трапецией и материальной точки, а затем устремить длину и ширину параллелепипеда к бесконечности (считая плотность его материала постоянной). Такая задача уже намного сложнее (особенно если строго вычислять гравитационное поле параллелепипеда).

* Точнее, одно из возможных верных решений с ненулевым разрывом вектора скорости на точке перехода от трапеции к плоскости, но об этом - в другой раз.
От alex~1
К Александр Т. (26.11.2003 21:17:40)
Дата 27.11.2003 09:45:08

Re: Для тех,...

Это круто. Бедные школьники - участники олимпиады по физике.
Нет, серьезно. Вариант с бесконечной энергией - это решительно. Энергия бесконечна, поэтому двигается там какя-то жалкая масса или нет, уже никого не колышет. Я пытаюсь найти возражения, но не могу. :)

Насчет того, что энергия - не инвариант относительно системы отсчета, вы, конечно, правы. Но думаю, что это довольно хорошо известно. Хотя...

С уважением
От Александр Т.
К alex~1 (27.11.2003 09:45:08)
Дата 27.11.2003 14:15:02

Re: Для тех,...

>Это круто. Бедные школьники - участники олимпиады по физике.
>Нет, серьезно. Вариант с бесконечной энергией - это решительно. Энергия бесконечна, поэтому двигается там какя-то жалкая масса или нет, уже никого не колышет. Я пытаюсь найти возражения, но не могу. :)

А для этих бедных школьников был придуман ответ, который предполагался првильным? Мне больше ничего в голову не приходит, поэтому интересно было бы его узнать. Кстати, а что Вы скажите насчет предельного перехода?

Я, честно говоря, думал, что Вы именно бесконечность имели в виду, вспоминая Ваш намек на то, что все это имеет гораздо большую близость к вопросу об энтропии, чем кажктся на первый взгляд. В данном случае прослеживается аналогия бесконечная масса - термостат.

>Насчет того, что энергия - не инвариант относительно системы отсчета, вы, конечно, правы. Но думаю, что это довольно хорошо известно. Хотя...

Я намекал на то, что на Ваш вопрос https://vif2ne.org/nvz/forum/0/co/103558.htm никто не ответил. Хотя конечно имело смысл считать, что он был просто никому не интересен.

P.S. Существует и другое решение. Рассуждать можно так. Рассматривает переход от треугольника (в своем предыдущем сообщении, я по ошибке назвал его трапецией) к плоскости как удар тела (материальной точки) о плоскость. Будем считать удар абсолютно упругим ("задача все-таки", говоря Вашими словами). Тогда тело будет двигаться по сегментам параболы (т.е. периодически ударяясь сверху о плоскость и отскакивая от нее) с постоянной горизонтальной составляющей скорости $v_x=\sqrt{gh}\cos\alpha$, где $\alpha$ - соответствующий угол треугольника (я использую TeXовские обозначения, думаю, что они Вам известны). Но и для этого решения отмеченный Вами парадокс существует, достаточно перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью $v_x$. На мой взгляд, этот парадокс существует потому, что это решение - верно, лишь когда масса плоскости равна бесконечности, т.е. решение для конечной массы плоскости (для которого никаких парадоксов нет) стремиться к этому простому решению при стремлении массы плоскости в бесконечность.
От Павел
К alex~1 (27.10.2003 16:41:17)
Дата 27.10.2003 17:02:43

Re: Для тех,...

>Теперь возьмем наблюдателя, который движется равномерно прямолинейно в направлении движения груза со скоростью

>u = sqrt (2*g*h).

>Как говорится, ежу ясно, что для такого наблюдателя до начала движения груза по наклонной стороне груз имел и потенциальную энергию (mgh), и кинетическую (m(-u)**2/2).
>А после скатывания на плоскость не осталось ни потенциальной (h = 0), ни кинетической, так как груз "догнал" наблюдателя и стал неподвижен относительно него.

>Что будем делать с законом сохранения энергии? :)

С законом все нормально. Просто надо умело скакать между точками отсчета. В системе отсчета, связанной с движущимся грузом - его энергия равна 0.

Сначала мы посчитали энергию относительно Земли (условно).

Что тут такого?
От alex~1
К Павел (27.10.2003 17:02:43)
Дата 27.10.2003 17:18:42

Re: Для тех,...

>
>С законом все нормально. Просто надо умело скакать между точками отсчета. В системе отсчета, связанной с движущимся грузом - его энергия равна 0.

Вы не поняли. Движущаяся система отсчета во второй части задачи не связана с грузом (такая система отсчета двигалась бы ускоренно - это нам не надо). Движущаяся система отсчета движется равномерно прямолинейно "по плоскости" - просто ее скорость численно равна той скорости , с которой груз двигался бы после сползания на плоскость относительно неподвижной системы.

>Сначала мы посчитали энергию относительно Земли (условно).

В первом случае мы считали энергии относительно неподвижной системы отсчета ("Земли"), во втором - относительно движущейся равномерно и прямолинейно. Такие системы, естественно, эквивалентны.
От Павел
К alex~1 (27.10.2003 17:18:42)
Дата 28.10.2003 11:38:54

Так что вы хотите показать?

>>С законом все нормально. Просто надо умело скакать между точками отсчета. В системе отсчета, связанной с движущимся грузом - его энергия равна 0.
>
>Вы не поняли. Движущаяся система отсчета во второй части задачи не связана с грузом (такая система отсчета двигалась бы ускоренно - это нам не надо). Движущаяся система отсчета движется равномерно прямолинейно "по плоскости" - просто ее скорость численно равна той скорости , с которой груз двигался бы после сползания на плоскость относительно неподвижной системы.

Вот теперь понял. И что? Энергия - величина скалярная.
От alex~1
К Павел (28.10.2003 11:38:54)
Дата 28.10.2003 11:49:58

Re: Так что...

>Вот теперь понял. И что? Энергия - величина скалярная.

Конечно.
Относительно неподвижной системы отсчета все хорошо - потенциальная энергия поднятого на высоту груза перешла в кинетическую энергию его движения. Было: есть высота, нет скорости - стало: нет высоты, есть скорость. Ура.

Относительно подвижной системы получется ерунда. В начале груз имел и потенциальную (высота), и кинетическую (скорость) энергию. В конце - ни той, ни другой (высота потеряна, скорость относительно движущейся системы отсчета стала равной 0 - груз ее "догнал").

А Вы говорите, закон сохранения энергии. :)))
От Павел
К alex~1 (28.10.2003 11:49:58)
Дата 29.10.2003 11:00:12

пора это прекращать!

>Относительно подвижной системы получется ерунда. В начале груз имел и потенциальную (высота), и кинетическую (скорость) энергию. В конце - ни той, ни другой (высота потеряна, скорость относительно движущейся системы отсчета стала равной 0 - груз ее "догнал").

>А Вы говорите, закон сохранения энергии. :)))

насчет законов - не волнуйтесь - с ними все нормально.
Если изначально привязать систему отсчета к движущемуся наблюдателю. Была потенциальная энергия. Причем груз двигался относительно наблюдателю в обратную сторону. Потенциальная энергия перешла в изменение кинетической энергии.
От alex~1
К Павел (29.10.2003 11:00:12)
Дата 29.10.2003 12:05:24

Re: пора это...

Вы поймите - смысл этой задачи в том, чтобы ОТЧЕТЛИВО сформулировать причину кажущегося парадокса. Эта задача не важна сама по себе. Просто для рассуждений об интерпретации физических законов в философском смысле нужно отчетливое понимание сути, используемых ограничений и пр..

Ясно, что никакой разницы в двух этих вариантах нет. Кто бы спорил. Но кажется, что она есть. В чем хитрость-то?

Эта задача с московской городской олимпиады по физике.
Ее можно трактовать как небольшой практикум на понимание и умение рассуждать - и все.

С уважением
От alex~1
К Павел (29.10.2003 11:00:12)
Дата 29.10.2003 11:54:40

Re: пора это...

>
>насчет законов - не волнуйтесь - с ними все нормально.

Не сомневаюсь. :)

>Если изначально привязать систему отсчета к движущемуся наблюдателю. Была потенциальная энергия. Причем груз двигался относительно наблюдателю в обратную сторону. Потенциальная энергия перешла в изменение кинетической энергии.

Какая разница, в какую сторону двигался груз относительно НАБЛЮДАТЕЛЯ? В выражении для кинетической энергии направление скорости не имеет значения.

В чем разница-то между двумя вариантами? Чем они принципиально отличаются друг от друга c точки зрения формирования условия задачи? То, что на самом деле эти варианты эквиваленты, ясно.
От Павел
К alex~1 (29.10.2003 11:54:40)
Дата 03.11.2003 11:05:47

я не силен в риторике ... :)

>Какая разница, в какую сторону двигался груз относительно НАБЛЮДАТЕЛЯ? В выражении для кинетической энергии направление скорости не имеет значения.

>В чем разница-то между двумя вариантами? Чем они принципиально отличаются друг от друга c точки зрения формирования условия задачи? То, что на самом деле эти варианты эквиваленты, ясно.

отсчет от движущегося наблюдателя. Была кинетическая энергия (движение груза) и потенциальная. Потенциальная израсходовалась на изменения кинетической - груз остановился (относительно точки отсчета)

Достаточно?
От alex~1
К Павел (03.11.2003 11:05:47)
Дата 03.11.2003 11:28:52

Re: я не...

>отсчет от движущегося наблюдателя. Была кинетическая энергия (движение груза) и потенциальная. Потенциальная израсходовалась на изменения кинетической - груз остановился (относительно точки отсчета)

>Достаточно?

Т.е. одна энергия была "погашена" другой? Да так, что обеих не осталось?

"Демоны были, не спорю. Но они самоликвидировались". :)

Хочу зако-о-о-о-н сохранения энергии!!! Энергия переходит из одной формы в другую, а не пропадает!!!! :)
От Павел
К alex~1 (03.11.2003 11:28:52)
Дата 03.11.2003 12:22:00

тьфу!

>>отсчет от движущегося наблюдателя. Была кинетическая энергия (движение груза) и потенциальная. Потенциальная израсходовалась на изменения кинетической - груз остановился (относительно точки отсчета)
>
>>Достаточно?
>
>Т.е. одна энергия была "погашена" другой? Да так, что обеих не осталось?

>"Демоны были, не спорю. Но они самоликвидировались". :)

>Хочу зако-о-о-о-н сохранения энергии!!! Энергия переходит из одной формы в другую, а не пропадает!!!! :)

И что? Это в рамках всей замкнутой (внимание!) системы закон верен. А в отдельных частях - все может быть.
От alex~1
К Павел (03.11.2003 12:22:00)
Дата 03.11.2003 12:43:16

Именно что тьфу!

>И что? Это в рамках всей замкнутой (внимание!) системы закон верен. А в отдельных частях - все может быть.

Система: плоскость без массы и скорости, но с полем тяготения, призма (если хотите, с массой), груз.

Механическую энергию какой части мы не учли? Где разомкнутость?
От константин
К alex~1 (29.10.2003 11:54:40)
Дата 31.10.2003 19:10:15

Re: пора это...

Насколько я понимаю , ситуация такая.
В механике закон сохранения энергии имеет такую формулировку: изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил над ним. Если силы потенциальны , то работу сил можно свести к изменению потенциальной энергии. Тогда получится обычная формулировка - сумма кинетической и потенциальной энергии сохраняется.
В случае наклонной плоскости реально не одна сила (тяготения), а две - тяготение и реакция плоскости. В системе отсчета, где плоскость покоиться , работа сил реакции -0, т.к. скорость тела перпендикулярна силе реакции. В системе движущейся относительно наклонной плоскости работа силы реакции не 0. Я думаю, что если эту работу аккуратно посчитать, то все сойдется.
От alex~1
К константин (31.10.2003 19:10:15)
Дата 03.11.2003 10:48:02

Re: пора это...

>Насколько я понимаю , ситуация такая.
>В механике закон сохранения энергии имеет такую формулировку: изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил над ним. Если силы потенциальны , то работу сил можно свести к изменению потенциальной энергии. Тогда получится обычная формулировка - сумма кинетической и потенциальной энергии сохраняется.

OK.

>В случае наклонной плоскости реально не одна сила (тяготения), а две - тяготение и реакция плоскости. В системе отсчета, где плоскость покоиться , работа сил реакции -0, т.к. скорость тела перпендикулярна силе реакции.

Направление скорости неважно, важно перемещение. Тело перемещается в направлении, перпендикулярном силе реакции. Причем в обоих случаях.

> В системе движущейся относительно наклонной плоскости работа силы реакции не 0.

Это почему?

>Я думаю, что если эту работу аккуратно посчитать, то все сойдется.

Посчитайте. :)
От константин
К alex~1 (03.11.2003 10:48:02)
Дата 03.11.2003 20:41:41

Re: пора это...

>>В случае наклонной плоскости реально не одна сила (тяготения), а две - тяготение и реакция плоскости. В системе отсчета, где плоскость покоиться , работа сил реакции -0, т.к. скорость тела перпендикулярна силе реакции.
>
>Направление скорости неважно, важно перемещение. Тело перемещается в направлении, перпендикулярном силе реакции. Причем в обоих случаях.

Нет. Перемешение зависит от системы отсчета.
Сила нет (если системы инерциальны)

В движущейся системе отсчета перемещение не перпендикулярно силе реакции.
>> В системе движущейся относительно наклонной плоскости работа силы реакции не 0.
>
>Это почему?
Потому что приращение работы равно скалярному произведению вектора силы на преращение вектора перемещения. Можно чуть иначе , через мощности.
Мощность - скалярное произведение скорости на силу., т.е. она зависит от системы отсчета.

>>Я думаю, что если эту работу аккуратно посчитать, то все сойдется.
>
>Посчитайте. :)
Посчитаю вечерком.