От Alexandre Putt
К Alexandre Putt
Дата 18.10.2007 13:56:37
Рубрики Крах СССР; Хозяйство; Теоремы, доктрины;

Правильное решение задачи 1-100 -- 0.99-0.01

> "Рассмотрим пример: случайная величина может принимать значение 1 с
> вероятностью 0,99 и значение 100 с вероятностью 0,01. Какой будет эта
> величина при следующей реализации?" (Иванов)

> Итак, вы утверждаете, что прогнозируете (делаете свой "guess") в следующем
> опыте выпадение числа 1,99? Нет, ошибаетесь, мой друг. Никогда это число
> не выпадет, сколько бы раз не проводили испытание. Выпадают только числа 1
> и 100, и никаких больше. Неужели непонятно?

Ну так я же Вам уже говорил, что дискретность не является проблемой.
Просто в Вашем примере возможны только 2 исхода, это специфика Вашего примера.
Для непрерывного распределения этот случай не работает. Также легко можно
сконструировать примеры для дискретности, где мат. ожидание выпадет на одну из величин, входящих
в "пространство элементарных событий" (любимое выражение Мигеля последнюю неделю).

Самое интересное, что и тут Вы ошиблись. Вы подталкиваете меня к числу 1. Но это ошибочный ответ. И вот почему:

------

Так и быть, проявлю добрую волю и дам правильную трактовку решения и задачи.

(Если бы Гуревич действительно читал учебник по экономике неопределённости и знал
теорему фон Неймана-Моргенштерна, то он бы легко разобрался и предложил это объяснение)

Проблема в том, что я неявно подменил условие задачи. В экономических приложениях
речь идёт об установлении числа, вокруг которого группируются результаты эксперимента
(например, значения коэффициента переменной, с которой она влияет на переменную
интереса). Соответственно этому и используется мат. ожидание.

(У Иванова-Гуревича же речь идёт о выборе оптимального поведения, можно сказать,
находясь под колпаком.)

Эту позицию невозможно оспорить. Проблема в том, что переформулировку Иванов-Гуревич
не обнаружил и оказался в патовой ситуации, в которую я легко его поставил: единственность эксперимента.
На любое его утверждение о массовости я бы корректно указал на необходимость применения мат. ожидания.
На любое его утверждение об единственности я бы корректно указал на неприменимость теории вероятности к уникальным (единственным) опытам.

У Гуревича же речь идёт о выборе оптимальной стратегии поведения - это задача
несколько иного рода. И тем не менее даже столь простую задачу он умудрился решить неправильно!

Формально это выглядит так:

A Есть лотерея (выбор), которая даёт возможность сыграть и получить $1 с вероятностью 0.99
и $0 с вероятностью (1-0.99)

Какова же ценность этой лотереи? Применяем теорему и получаем $1 * 0.99 + $0 * 0.01 = $0.99

Именно столько приносит "поведение" --- выбор стратегии A.

B Есть лотерея (выбор), которая даёт возможность сыграть и получить $100 с вероятностью 0.01
и $0 с вероятностью (1-0.01)

Выигрыш таким образом при стратегии B $100 * 0.01 + $0 * 0.99 = $1.

Стратегия B предпочтительнее, потому что даёт больший выигрыш.

Интересно, что и тут оппонент ошибся! Более "вероятное" число не только не
предпочтительнее, сам по себе вопрос с частотой некорректен. (без представления о ценности каждого результа. Если же все результаты равновероятны и равноценны, тогда поведение будет индифферентно. Этот же случай возможен при различных комбинациях этих двух факторов)

Поэтому Иванов-Гуревич проиграет в эту игру при достаточно большом числе повторений.
(Ограничение тут только вызвано маловероятностью события с $100, и связано с обсуждением
неприменимости ЗБЧ. При вероятности стремящейся к нулю ЗБЧ "ломается". Но об этом я уже говорил.)

Ну а какова же ценность лотереи, содержащей в себе A и B? $1.99. Но при вычислении
такой ценности, как не трудно заметить, мы определяем не ценность следования определённой стратегии,
а совсем другой результат. В этом и есть изменение условий. (впрочем, я об этом уже писал открытым текстом ранее)
От Alexandre Putt
К Alexandre Putt (18.10.2007 13:56:37)
Дата 20.10.2007 12:38:42

Маленькая поправка (+)

>Ну а какова же ценность лотереи, содержащей в себе A и B? $1.99.

Чтобы быть корректным в формулировках, речь не идёт о сложной лотерее, а о простой лотерее, которая содержит два исхода (100 и 1). Именно это я подразумевал.
От Иванов (А. Гуревич)
К Alexandre Putt (18.10.2007 13:56:37)
Дата 19.10.2007 13:36:00

Незачет

>(Если бы Гуревич действительно читал учебник по экономике неопределённости и знал
>теорему фон Неймана-Моргенштерна, то он бы легко разобрался и предложил это объяснение)

Если бы Путт больше думал своей головой, а не механически применял малопонятные ему теоремы там, где они неприменимы, было бы больше толку. Вообще, меньше надувайте щеки, сосредоточьтесь на существе дела. Не хвалите себя, подождите, пока другие похвалят.

>Формально это выглядит так:

Вот с этого и можно было начать.

>A Есть лотерея (выбор), которая даёт возможность сыграть и получить $1 с вероятностью 0.99
>и $0 с вероятностью (1-0.99)

Сколько стоит участие в этой лотерее (цена билета)? Вы забыли об этом сказать.

>Какова же ценность этой лотереи?

Кто вас просил определять "ценность" этой лотереи? Зачем она (в данном случае) нужна?

>Применяем теорему и получаем $1 * 0.99 + $0 * 0.01 = $0.99
>Именно столько приносит "поведение" --- выбор стратегии A.

Так сколько же стоит билет? Цена должна быть ниже, чем $1 (чтобы я согласился в ней участвовать), и выше, чем $0.99 (чтобы не разорился организатор лотереи; он, по смыслу, продает много билетов и поэтому ориентируется именно на средний выигрыш). Предположим, цена билета $0.995. И вы хотите, чтобы я погнался за половинкой цента? Никогда! Я даже не наклонюсь, чтобы ее поднять с земли.

>B Есть лотерея (выбор), которая даёт возможность сыграть и получить $100 с вероятностью 0.01
>и $0 с вероятностью (1-0.01)

>Выигрыш таким образом при стратегии B $100 * 0.01 + $0 * 0.99 = $1.

>Стратегия B предпочтительнее, потому что даёт больший выигрыш.

Вы ошибаетесь, в лотерее В я тоже не буду участвовать, даже если организатор назначит себе в убыток цену билета ниже $1. Слишком мал выигрыш, чтобы я еще с этим возился (покупал билет, хранил его, интересовался розыгрышем, ходил за получением приза в случае выигрыша; мне просто лень это делать). А вот если будет разыгрываться миллион, то я, возможно, и поучаствую, даже если вероятность выигрыша будет в 10000 раз меньше.

Вот таким образом, мой друг. Старайтесь вырабатывать у себя экономический образ мышления.

>Поэтому Иванов-Гуревич проиграет в эту игру при достаточно большом числе повторений.

А кроме того, обратите серьезное внимание на свое здоровье. У вас нелады с памятью. Вы все не можете запомнить, что никакого большого числа повторений у нас нет. Мы играем ОДИН РАЗ.
От Alexandre Putt
К Иванов (А. Гуревич) (19.10.2007 13:36:00)
Дата 23.10.2007 14:54:40

Наводящие вопросы студентам-троечникам :)

> Если бы Путт больше думал своей головой, а не механически применял
> малопонятные ему теоремы там, где они неприменимы, было бы больше толку.

А почему Вы считаете теорему vNM не применимой? :)

> >A Есть лотерея (выбор), которая даёт возможность сыграть и получить $1 с
> вероятностью 0.99
> >и $0 с вероятностью (1-0.99)
> Сколько стоит участие в этой лотерее (цена билета)? Вы забыли об этом
> сказать.

Это не играет роли, ведь речь идёт о формировании предпочтения по отношению
к A и B (т.е. Вам нужно сказать одно из: A лучше B, B лучше A, A и B одинаковы).

Можете считать, что цена $0 (для обеих лотерей, конечно).

> >Какова же ценность этой лотереи?
> Кто вас просил определять "ценность" этой лотереи? Зачем она (в данном
> случае) нужна?

Для сравнения лотерей, друг мой.

> >Применяем теорему и получаем $1 * 0.99 + $0 * 0.01 = $0.99
> >Именно столько приносит "поведение" --- выбор стратегии A.
> Так сколько же стоит билет? Цена должна быть ниже, чем $1 (чтобы я
> согласился в ней участвовать), и выше, чем $0.99 (чтобы не разорился

Нет, речь идёт о сравнении альтернативных вариантов поведения. Цена билета
тут не играет роли. Вы должны сделать выбор между A и B.

> И вы хотите, чтобы я погнался за половинкой цента? Никогда! Я даже не
> наклонюсь, чтобы ее поднять с земли.

Я рад за Вас. Но к обсуждению решения задачи это не имеет никакого отношения.
Представьте себе, что Вы на экзамене и отвечаете на конкретный вопрос :)

> Вы ошибаетесь, в лотерее В я тоже не буду участвовать, даже если
> организатор назначит себе в убыток цену билета ниже $1. Слишком мал
> выигрыш, чтобы я еще с этим возился (покупал билет, хранил его,

Т.е. если я Вам предложу 5 c просто так, Вы откажетесь? А если я буду делать это непрерывно? :)

> просто лень это делать). А вот если будет разыгрываться миллион, то я,
> возможно, и поучаствую, даже если вероятность выигрыша будет в 10000 раз
> меньше.

Это не играет ни малейшей роли на решение задачи. Вы формулировку уже забыли? Речь идёт об оптимальном
поведении (т.е. прогнозе) при наличии разновероятностных событий. Вы помнится утверждали,
что следует выбирать наиболее вероятное событие. Теперь Вы отказываетесь от своего мнения? :)

> памятью. Вы все не можете запомнить, что никакого большого числа
> повторений у нас нет. Мы играем ОДИН РАЗ.

Да, я совсем забыл, один раз и Вы всегда выигрываете :)))
От Иванов (А. Гуревич)
К Alexandre Putt (23.10.2007 14:54:40)
Дата 24.10.2007 10:43:15

Дополнительные подсказки "магистру наук"

>А почему Вы считаете теорему vNM не применимой? :)

На эту тему можно долго философствовать, но я уклонюсь. Ведь в ответ вы мне снова будете "копипастить" не относящиеся к делу английские тексты. Скажу кратко: теорема Неймана-Моргенштерна не о том, как нужно выбирать конкретную стратегию, а о том, что субъект в состоянии сравнивать между собой комбинации событий с определенными числовыми вероятностями наступления каждого из них. При сравнении он пользуется своей функцией полезности. А вы пишете: "применяем теорему" и вычисляете математическое ожидание выигрыша в лотерее. Вы либо в глаза не видели теорему Неймана-Моргенштерна, либо вообще (а не только в данном случае) не понимаете, что читаете и пишете. Последнее время я больше склоняюсь ко второму варианту.

>> Сколько стоит участие в этой лотерее (цена билета)? Вы забыли об этом сказать.

>Это не играет роли, ведь речь идёт о формировании предпочтения по отношению к A и B (т.е. Вам нужно сказать одно из: A лучше B, B лучше A, A и B одинаковы). Можете считать, что цена $0 (для обеих лотерей, конечно).

Пусть будет так.

>> Кто вас просил определять "ценность" этой лотереи? Зачем она (в данном случае) нужна?

>Для сравнения лотерей, друг мой.

Вы сравниваете лотереи по величине математического ожидания выигрыша. А где функция полезности, о которой говорит теорема, которую вы, как выясняется, не знаете?

И зачем плодить лишние сущности? Зачем щеголять красивыми словечками? Я ведь вам все объяснил без всяких теорем - я не буду участвовать ни в одной из этих лотерей. Если же вы вынуждаете меня все-таки сделать выбор, то я выберу вариант В. Но совсем не потому, что математическое ожидание для него выше (на 1 цент!). А потому, что я предпочитаю возможность выиграть 100 долларов варианту получить 1 доллар почти наверняка.

Здесь имеется полная аналогия с лотереей, о которой мы с Мигелем вам уже говорили. Цена билета 1 доллар, вероятность выигрыша – одна миллионная, приз – 800 тыс. долларов, мат. ожидание выигрыша – 80 центов. Первая стратегия – наверняка получить 1 доллар (т.е. сэкономить его, не участвуя в лотерее), вторая – играть в игру с мат. ожиданием 80 центов. Я выбираю игру, поскольку предпочитаю возможность выиграть 800 000 долларов варианту получить 1 доллар наверняка. Такая у меня (а также у многих других людей, играющих в лотерею) функция полезности.

>> Мы играем ОДИН РАЗ.

>Да, я совсем забыл, один раз и Вы всегда выигрываете :)))

Именно так. У вас я всегда выигрываю. До вас только сейчас дошло?