От Мигель
К Alexandre Putt
Дата 08.02.2007 23:20:46
Рубрики Модернизация; Хозяйство; Теоремы, доктрины;

Ох, пересчитывать Вам по четвёртому разу!

>Возможно, в силу дополнительных предположений, высказанных в явной форме:
>1) Сан-Комарик недонаселён, и дальнейшее снижение его населения приводит к снижению среднего благосостояния в Сан-Комарике.
>...
>В этом случае ответ однозначный - увеличение инфраструктуры Давилона приведёт к снижению среднего благосостояния (по крайней мере, до тех пор, пока Сан-Комарик всё ещё существует).

https://vif2ne.org/nvz/forum/5/co/205228.htm

>Здесь ошибка, ибо первая часть 1) "Сан-Комарик недонаселён" означает, что U'c < 0, что означает ситуации
>А U'd > U'c
>либо
>B U'd < U'c

Вы сначала разберитесь, где у Вас функция, где производная, и где какие знаки. Поскольку у Вас Uc – суммарная полезность жителей города (иначе бы Вы не писали общее благосостояние W = Ud +Uc), то недонаселённость Сан-Комарика отражается условием на вторую производную. Представьте функцию урожая на участке от применения к ней единицы труда или капитала. Эта функция всегда возрастает. Но убывающая отдача начинается тогда, когда вторая производная становится отрицательной. Надеюсь, так понятней.

>Ситуация А ведёт к тому, что вывод не верен. (теорема опровергнута)
>Ситуация В - сложнее, вывод может выпоняться в большом ряде случаев (но опять таки, не обязательно, потому что я установил достаточные, а не необходимые условия).

Я, честно говоря, так и не понял, при чём тут соотношение производных функций Ud и Uc. Они тут не при чём. Вы не ту задачу считаете.

>Но автор здесь допускает тавтологичный оборот: если "Сан-Комарик недонаселён" И "дальнейшее снижение его населения приводит к снижению среднего благосостояния", то среднее благосостояние сократится, что ПРИ ЛЮБЫХ УСЛОВИЯХ ведёт к падению среднего благосостояния в Давилоне, просто по условию задачи. Хороша же теорема "если А, то А".

Совершенно верно! В том-то и дело, что автор показывает: если уж страна попала в ловушку сверхконцентрации, то, пока Сан-Комарик не исчезнет, убывание общего благосостояния определяется самим по себе фактом недонаселённости Сан-Комарика. А функция полезности перегруженного Давилона здесь даже и не участвует – важен только факт её роста в случае увеличения инфраструктуры под давлением общественности. То есть, условие выравнивания среднего благосостояния создаёт эту неприятность. Да, в условия задачи заложен ответ. Но так в любой теоретической модели.

>У Вас предельная полезность всегда положительна на графиках. А раз так, что моё условие выполняется всегда для Ваших графиков, и Ваша теорема ошибочна всегда!

>Вам следует ввести отрицательную предельную полезность.

Не надо мне вредных советов давать. Разберитесь сначала, какая производная и для какой функции определяет переход от возрастающей отдачи к убывающей.

И ещё. Когда будете считать в четвёртый раз, учтите, что само по себе условие выравнивания среднего благосостояния позволяет обойтись без подсчёта частных производных и ограничиться только условием на производные функции Сан-Комарика.
От Alexandre Putt
К Мигель (08.02.2007 23:20:46)
Дата 09.02.2007 00:50:46

Дополнение

> Поскольку у Вас Uc – суммарная полезность жителей города (иначе бы Вы не писали общее благосостояние W = Ud +Uc), то недонаселённость Сан-Комарика отражается условием на вторую производную... убывающая отдача начинается тогда, когда вторая производная становится отрицательной. Надеюсь, так понятней.

У меня вообще в опровержении понятие "убывающая отдача" не используется. В место этого даны условия на знаки производных. Я не вижу смысла привлекать понятие из области производства. Замечу, что моё объяснение соответствует Вашим картинкам и общим рассуждениям.

>И ещё. Когда будете считать в четвёртый раз, учтите, что само по себе условие выравнивания среднего благосостояния позволяет обойтись без подсчёта частных производных и ограничиться только условием на производные функции Сан-Комарика.

Это неверно. Речь изначально идёт о благосостоянии и у Вас в работе поставлен вопрос об изменении благосостояния.

Поэтому оценивается эффект на благосостояние. Я показал, что этот эффект может быть положительным (и это вполне разумно, если Вы немного подумаете "вообще", то поймёте, почему). Ваше условие равенства средних полезностей у меня выполняется всегда и выступает ограничением.
От Alexandre Putt
К Мигель (08.02.2007 23:20:46)
Дата 08.02.2007 23:53:46

Ответ

>Вы сначала разберитесь, где у Вас функция, где производная, и где какие знаки.

У меня все понятия определены.

> Поскольку у Вас Uc – суммарная полезность жителей города (иначе бы Вы не писали общее благосостояние W = Ud +Uc), то недонаселённость Сан-Комарика отражается условием на вторую производную.

Это неверно. Критерий "недонаселённости" произвольный, его невозможно вывести абстрактно. Я его определил как снижение полезности при росте населения (т.е. увеличение населения делает жизнь в городе хуже в абсолютном смысле). Т.е. отрицательная производная функции полезности.

> Представьте функцию урожая на участке от применения к ней единицы труда или капитала. Эта функция всегда возрастает. Но убывающая отдача начинается тогда, когда вторая производная становится отрицательной. Надеюсь, так понятней.

Не надо мне про убывающую отдачу. Читайте умные книжки, там сказано, что убывающая отдача - это отрицательная производная (всего существует штук 5 различных определений). Например, для функции издержек С(Q), C'(Q) > 0 - убывающая отдача.
Да это и не принципиально, как явление не обзови, оно имеет место.

>Я, честно говоря, так и не понял, при чём тут соотношение производных функций Ud и Uc. Они тут не при чём. Вы не ту задачу считаете.

Вы мои сообщения читаете? Я доказал, что в Вашей модели U'd + U'c > 0 является достаточным условием для роста благосостояния при увеличении инфраструктуры.

>Совершенно верно! В том-то и дело, что автор показывает: если уж страна попала в ловушку сверхконцентрации, то, пока Сан-Комарик не исчезнет, убывание общего благосостояния определяется самим по себе фактом недонаселённости Сан-Комарика.

У Вас нет условия ситуации-ловушки.

> А функция полезности перегруженного Давилона здесь даже и не участвует – важен только факт её роста в случае увеличения инфраструктуры под давлением общественности

Участвует. Вы же о благосостоянии говорите. Положительное увеличение полезности в Давионе нивелирует сокращение полезности в Сан-Комарике. Суммарный эффект может быть положительным.

> То есть, условие выравнивания среднего благосостояния создаёт эту неприятность. Да, в условия задачи заложен ответ. Но так в любой теоретической модели.

Это неверно. Теории, состоящие из одного логического действия, никому не нужны. Моя версия Вашей модели покрывает все случаи и показывает, что Ваши выводы неправдоподобны.

>И ещё. Когда будете считать в четвёртый раз, учтите, что само по себе условие выравнивания среднего благосостояния позволяет обойтись без подсчёта частных производных и ограничиться только условием на производные функции Сан-Комарика.

Это неверно. У Вас неправильно поставлена задача, так что за Вас пришлось, как за Паршева, проделывать некоторую работу. Прошу ответ писать конкретно по пунктам модели.
От Мигель
К Alexandre Putt (08.02.2007 23:53:46)
Дата 09.02.2007 02:23:08

Вы издеваетесь?

>>Вы сначала разберитесь, где у Вас функция, где производная, и где какие знаки.

>У меня все понятия определены.

Но они не соответствуют моей модели.

>> Поскольку у Вас Uc – суммарная полезность жителей города (иначе бы Вы не писали общее благосостояние W = Ud +Uc), то недонаселённость Сан-Комарика отражается условием на вторую производную.

>Это неверно. Критерий "недонаселённости" произвольный, его невозможно вывести абстрактно. Я его определил как снижение полезности при росте населения (т.е. увеличение населения делает жизнь в городе хуже в абсолютном смысле). Т.е. отрицательная производная функции полезности.

Какой полезности? Суммарной по всем жителям города? Средней на одного жителя? Предельной (прироста суммарной при добавлении одного жителя)? Я Вас не понимаю, но из формулы W=Ud+Uc делаю вывод, что Ud – это функция суммарной полезности жителей Давилона. Я не понял, что Вы понимаете под недонаселённостью. Вы сами прочитайте, что написали чуть выше – судя по всему, там написано определение перенаселённости в Вашем понимании. То есть точка, где начинает убывать Ud. Я не знаю, зачем такое определение вообще нужно в данной теории, где рассматривается удельное благосостояние.

>> Представьте функцию урожая на участке от применения к ней единицы труда или капитала. Эта функция всегда возрастает. Но убывающая отдача начинается тогда, когда вторая производная становится отрицательной. Надеюсь, так понятней.

>Не надо мне про убывающую отдачу. Читайте умные книжки, там сказано, что убывающая отдача – это отрицательная производная (всего существует штук 5 различных определений). Например, для функции издержек С(Q), C'(Q) > 0 - убывающая отдача.
>Да это и не принципиально, как явление не обзови, оно имеет место.

Я имею в виду убывающую предельную отдачу. Если D(q) – функция урожая от числа работников на данном участке, то предельная отдача начинает убывать тогда, когда вторая производная D''(q) становится отрицательной. А если рассматривать среднюю отдачу, то она начнёт убывать правее.

>>Я, честно говоря, так и не понял, при чём тут соотношение производных функций Ud и Uc. Они тут не при чём. Вы не ту задачу считаете.

>Вы мои сообщения читаете? Я доказал, что в Вашей модели U'd + U'c > 0 является достаточным условием для роста благосостояния при увеличении инфраструктуры.

Да не нужно это достаточное условие, потому что вообще неоперационально. Я Вам сразу даю операциональный критерий. Если Uc (Nc) – функция благосостояния в Сан-Комарике при данной инфраструктуре, то критерий такой:

Если до инвестиций в давилонскую инфраструктуру U''c меньше 0 – благосостояние после инвестиций и перераспределения населения повышается,
Если больше 0, то снижается.

Всё.

>>Совершенно верно! В том-то и дело, что автор показывает: если уж страна попала в ловушку сверхконцентрации, то, пока Сан-Комарик не исчезнет, убывание общего благосостояния определяется самим по себе фактом недонаселённости Сан-Комарика.

>У Вас нет условия ситуации-ловушки.

См. выше – зависит от второй производной функции суммарной полезности Сан-Комарика.

>> А функция полезности перегруженного Давилона здесь даже и не участвует – важен только факт её роста в случае увеличения инфраструктуры под давлением общественности

>Участвует. Вы же о благосостоянии говорите. Положительное увеличение полезности в Давионе нивелирует сокращение полезности в Сан-Комарике. Суммарный эффект может быть положительным.

Не будет, если U''c больше нуля, то есть, суммарное благосостояние Сан-Комарика находится на участке возрастающей отдачи.

>> То есть, условие выравнивания среднего благосостояния создаёт эту неприятность. Да, в условия задачи заложен ответ. Но так в любой теоретической модели.

>Это неверно. Теории, состоящие из одного логического действия, никому не нужны.

Это не так. Иногда важно сформировать видение ситуации с помощью одного логического действия.

>Моя версия Вашей модели покрывает все случаи и показывает, что Ваши выводы неправдоподобны.

Вы не мою модель рассматриваете, а какую-то другую. Если я критерий даю, когда что есть, какие претензии?

>>И ещё. Когда будете считать в четвёртый раз, учтите, что само по себе условие выравнивания среднего благосостояния позволяет обойтись без подсчёта частных производных и ограничиться только условием на производные функции Сан-Комарика.

>Это неверно. У Вас неправильно поставлена задача, так что за Вас пришлось, как за Паршева, проделывать некоторую работу. Прошу ответ писать конкретно по пунктам модели.

Там нечего обсуждать, кроме пункта 14, который я просто не понял. Главное, что единственный вывод, который Вы там сделали – банален. Вы даёте «достаточное условие»: дескать, если в точке равновесия предельная полезность в Давилоне выше, чем в Сан-Комарике, то тогда и добавление инфраструктуры в Давилон с последующим переселением не приведёт к снижению благосостояния. А что, это и так не ясно? Ведь это случай, когда фактическое размещение населения смещено в пользу Сан-Комарика, а не Давилона, так что переселение из Сан-Комарика в Давилон принесло бы прирост даже при неизменной инфраструктуре. Это не результат, а мой критерий – какой-никакой результат.

>Вы не ответили на мой прямой вопрос. Прошу дать ответ, признаёте ли Вы наличие двух обозначенных эффектов.

Прошу прочитать ответ ещё раз и найти там ответ. Там я написал, что, действительно, позитивный эффект от прироста инфраструктуры может перекрывать эффект от очередного перераспределения населения. Я даже условие дал с самого начала, когда не перекрывает, и выше его написал – дело в знаке второй производной U''с. Это вообще необходимое и достаточное условие (в окрестности данной точки). То, что при другом знаке второй производной результат другой, это и из исходной статьи можно понять. Я уже устал оправдываться, что не верблюд.

>> А условия, при которых эффект не работает, были приведены мной в самой статье – для внимательного читателя.

>Где?

В трёх последних абзацах раздела «Размещение населения: оптимальное и фактическое». Там прямо сформулировано условие, когда вложения в инфраструктуру Давилона приводят к снижению благосостояния – когда население Сан-Комарика упало настолько, что его функция благосостояния находится на участке возрастающей отдачи.

>> Точнее, там точно сформулировано, когда эффект выполняется: «Но нас интересует, что произойдёт, когда население Сан-Комарика снизится до такой величины, ниже которой проявляется недогрузка имеющейся там инфраструктуры.

>Это неверно, и я объяснил, почему, в сообщении "Вообще, полезно себя читать"

Это верно, и я объяснил, почему. Вы уж определитесь. Либо Вы утверждаете, что моя задача – бесполезное тривиальное упражнение в одно логическое действие (и верное), либо говорите, что нет.

Я Вам даю критерий – знак второй производной функции Ud. Ваше рассмотрение, на его фоне, бесполезно.

>> Однако ситуация в Сан-Комарике такова, что дальнейшее сокращение населения в нём приводит к снижению среднего благосостояния».

>Это тавтология.

Так это тавтология, или это неверно?

>>Был согласен с самого начала и много раз об этом говорил. И даже условия сформулировал, только не в той сложной форме, что у Вас, а только в терминах исходной точки на кривой Сан-Комарика.

>Т.е. Вы признаёте критику7

Вашу – нет. Вы столько наговорили, что не знаю, по какому поводу оправдываться.

>> Всё зависит только от знака второй частной производной по населению функции Uc (в Ваших обозначениях), и только.

>От знака первой. Вы со своим графиком сначала запутали меня, теперь уже себя.

Ничего я не запутал, постройте график урожая от работников и возьмите его производную, то есть предельную отдачу от дополнительного работника. Эта производная будет иметь тот же вид, что и графики на моих рисунках.

>>А установить размер платы за инфраструктуру – вообще не задача моей модели.

>Тогда зачем Вы приплетаете плату за инфраструктуру в выводах?

А чтобы москвичам жизнь мёдом не казалась.
От Alexandre Putt
К Мигель (09.02.2007 02:23:08)
Дата 09.02.2007 02:46:16

Не имею такой привычки

>Но они не соответствуют моей модели.

Докажите.

>Какой полезности? Суммарной по всем жителям города? Средней на одного жителя? Предельной (прироста суммарной при добавлении одного жителя)?

Полезности. У меня общая функция полезности для данного города. Как именно получилось агрегирование - непринципиально. У Вас, в общем-то, тоже.

U = U( N, I )

N - население
I - инфраструктура

> Я Вас не понимаю, но из формулы W=Ud+Uc делаю вывод, что Ud – это функция суммарной полезности жителей Давилона. Я не понял, что Вы понимаете под недонаселённостью.

Когда увеличение населения в городе ведёт к росту полезности.

> То есть точка, где начинает убывать Ud. Я не знаю, зачем такое определение вообще нужно в данной теории, где рассматривается удельное благосостояние.

У Вас не рассматривается удельное благосостояние. Вы неправильно сформулировали модель. Т.е. Вы свою же модель не в полне понимаете, а всё из-за того, что вопросы теории благосостояния не рассмотрели в своей работе.

>Я имею в виду убывающую предельную отдачу. Если D(q) – функция урожая от числа работников на данном участке, то предельная отдача начинает убывать тогда, когда вторая производная D''(q) становится отрицательной. А если рассматривать среднюю отдачу, то она начнёт убывать правее.

Это безотносительно. Условие сформулировано.

>Да не нужно это достаточное условие, потому что вообще неоперационально.

Потрудитесь обосновать.

> Я Вам сразу даю операциональный критерий. Если Uc (Nc) – функция благосостояния в Сан-Комарике при данной инфраструктуре, то критерий такой:

>Если до инвестиций в давилонскую инфраструктуру U''c меньше 0 – благосостояние после инвестиций и перераспределения населения повышается,
>Если больше 0, то снижается.

Вы не поняли. Потребителя не волнует предельная полезность, его волнует уровень полезности.
Кроме того, Вы не учитываете уровень полезности в другом городе.
Кроме того, Ваш критерий частично учитывается моим, я могу так предположить. У меня тоже U'' < 0, но Вы не понимаете, что это условие выполняется вообще во всех точках кривой полезности для любого N по условиям Вашей модели. Моё же условие для U' позволяет чётко сказать, когда будет иметь место роста благосостояния. Ваше условие - нет.

Вы не понимаете свою же модель. Начиная с того, что Вы не понимаете наличия двух эффектов. ∂Ud/∂I > 0 всегда, значит, некоторые ситуации, когда будет рост благосостояния, будут всегда. Эти ситуации могут возникуть в разных случаях, тут нужен анализ.

>См. выше – зависит от второй производной функции суммарной полезности Сан-Комарика.

Везде меньше нуля. Функция U вогнута вниз (concave).

>Там нечего обсуждать, кроме пункта 14, который я просто не понял.

Я дал намётки доказательства, там просто. Речь идёт о том, что ∂W/∂I может быть отрицательным, вопреки моим заявлениям ранее. Я уточняю.
Для доказательства нужно взять ∂L/∂t = 0 (условие оптимальности первого порядка, L - функция Лагранжа), из него получить выражение для мультипликатора. Дальше см п.14

> Главное, что единственный вывод, который Вы там сделали – банален. Вы даёте «достаточное условие»: дескать, если в точке равновесия предельная полезность в Давилоне выше, чем в Сан-Комарике, то тогда и добавление инфраструктуры в Давилон с последующим переселением не приведёт к снижению благосостояния.

Во-первых, не банален (из Вашей теоремы этого не видно). Во-вторых, это не единственное наблюдение, ведь это частный случай доказанного условия Ud' + Uc' > 0. В-третьих, я не стремился к оригинальности, я просто показал, что выводы Вашей модели могут быть неверны.

>Прошу прочитать ответ ещё раз и найти там ответ. Там я написал, что, действительно, позитивный эффект от прироста инфраструктуры может перекрывать эффект от очередного перераспределения населения. Я даже условие дал с самого начала, когда не перекрывает, и выше его написал – дело в знаке второй производной U''с.

Ваше условие неверно. U''c < 0 во всех точках.