От chvvl
К Иванов (А. Гуревич)
Дата 31.05.2006 15:27:16
Рубрики Ссылки; Тексты;

Пример для смеха и чесания в затылке

Хочу привести пример из своей жизни, который показывает, что с правилами и областями применимости надо работать очень осторожно. Для математиков думаю это вызовет весёлую усмешку, для других специальностей ... обычно чешут в затылке, конечно же есть желание похвастать, что удалось найти столь интересную (с моей точки зрения) задачю. Надеюсь и другие улыбнуться.
Для незнакомых с програмирование отмечу sqrt -означает корень квадратной.
Готовясь к поступлению винститут решал задачу, решил. Вижу есть другое решени но ответ отличается от первого. После выяснения наткнулся на следующее -
1)1/sqrt(-1)=sqrt(-1)/(sqrt(-1)*sqrt(-1))=sqrt(-1)/(-1)= -sqrt(-1);
2)1/sqrt(-1)=sqrt(1)/sqrt(-1)=sqrt(1/(-1))= sqrt(-1)

Вывод: 1 = -1.
Причина ошибки - использование правил предназначенных для работы с обычными числами для комплексных чисел.
Таким образом с областями определений надо быть очень осторожным иначе можно получить чушь несусветную.
Согласен, что полностью определять области определений задача хлопотная и часто сопоставима по сложности с получением самих законов. Но если это не делать, то будут беспредметные споры.
От Иванов (А. Гуревич)
К chvvl (31.05.2006 15:27:16)
Дата 01.06.2006 06:12:04

Так Вас в институт-то приняли или нет?

>Готовясь к поступлению винститут решал задачу, решил. Вижу есть другое решени но ответ отличается от первого. После выяснения наткнулся на следующее -
>1)1/sqrt(-1)=sqrt(-1)/(sqrt(-1)*sqrt(-1))=sqrt(-1)/(-1)= -sqrt(-1);
>2)1/sqrt(-1)=sqrt(1)/sqrt(-1)=sqrt(1/(-1))= sqrt(-1)

>Вывод: 1 = -1.
>Причина ошибки - использование правил предназначенных для работы с обычными числами для комплексных чисел.

Пример неудачный, поскольку первое равенство верное (зачем его вообще писать?), а второе - нет. Уж если хотите произвести эффект на школьников младших классов, то пишите так:

sqrt(-1)=sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)=-sqrt(-1)

Объяснение про специальные правила для комплексных чисел - правильное. Дело в том, что sqrt(-1) - это, по определению, число i, квадрат которого равен минус единице. И больше ничего. Каких-либо манипуляций с минус единицей под корнем (как во втором равенстве или в моем примере) делать нельзя, такие операции не определены.

Многозначность корня в данном случае роли не играет.
От Miguel
К Иванов (А. Гуревич) (01.06.2006 06:12:04)
Дата 01.06.2006 14:54:13

Говорит он: "Что за шутки?"

>>Готовясь к поступлению винститут решал задачу, решил. Вижу есть другое решени но ответ отличается от первого. После выяснения наткнулся на следующее -
>>1)1/sqrt(-1)=sqrt(-1)/(sqrt(-1)*sqrt(-1))=sqrt(-1)/(-1)= -sqrt(-1);
>>2)1/sqrt(-1)=sqrt(1)/sqrt(-1)=sqrt(1/(-1))= sqrt(-1)
>
>>Вывод: 1 = -1.
>>Причина ошибки - использование правил предназначенных для работы с обычными числами для комплексных чисел.
>
>Пример неудачный, поскольку первое равенство верное (зачем его вообще писать?), а второе - нет. Уж если хотите произвести эффект на школьников младших классов, то пишите так:

>sqrt(-1)=sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)=-sqrt(-1)

>Объяснение про специальные правила для комплексных чисел - правильное. Дело в том, что sqrt(-1) - это, по определению, число i, квадрат которого равен минус единице. И больше ничего. Каких-либо манипуляций с минус единицей под корнем (как во втором равенстве или в моем примере) делать нельзя, такие операции не определены.

>Многозначность корня в данном случае роли не играет.

Конечно, играет, да ещё и как. Вот в этом месте:

sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)

Здесь Вы применили цепочку "равенств"

sqrt[1]=sqrt[(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)

Если читать эту цепочку справа налево, то нетрудно заметить, что в первом равенстве цепочки Вы выбрали неправильную ветвь корня:

sqrt[ e^{\pi i} ] * sqrt [ e^{\pi i} ] = sqrt[ e^{\pi i} * e^{\pi i} ] = sqrt [ e^{2\pi i} ] = e^{\pi i} = -1 ,

где \pi - это "число пи", ^ - возведение в степень, sqrt - ветвь корня с разрезом [0,\infty), выбранная по формуле
sqrt [ r e^{i\theta} ] = sqrt[r] e^{i\theta / 2},
где в полярном представлении комплексного числа r>0, 0
От Иванов (А. Гуревич)
К Miguel (01.06.2006 14:54:13)
Дата 02.06.2006 11:24:33

Спасибо за поправку

Да, Вы правы. Но я имел в виду "упрощенный вариант" объяснения, когда

>>sqrt(-1) - это, по определению, число i, квадрат которого равен минус единице. И больше ничего.

Многозначностью я не пользовался, поскольку в цепочке равенств

>>sqrt(-1)=sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)=-sqrt(-1)

значения функций не вычислял.

Если же рассматривать комплексную плоскость и применять правила действия с комплексными числами, то следует отметить и другие недостатки моего (и Вашего) объяснения.

>Здесь Вы применили цепочку "равенств"
>sqrt[1]=sqrt[(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)
>Если читать эту цепочку справа налево, то нетрудно заметить, что в первом равенстве цепочки Вы выбрали неправильную ветвь корня:

В этой цепочке ошибки нет, слово "равенство" брать в кавычки не нужно, неправильную ветвь корня я не выбирал, поскольку его значение не вычислял. Здесь использованы лишь тождественные преобразования, действия, которые определены на множестве комплексных чисел.

В левой части равенства стоит фунция, принимающая значения +1 и -1; в правой части значения функции тоже равны +1 и -1. Множества значений этих функций совпадают и в этом смысле они равны.

Если искать первопричину "недоразумений", то для ее объяснения не нужно даже привлекать комплексные числа. Вот эта ошибка:

1=sqrt(1).

В левой части стоит число, в правой - функция, принимающая два значения (+1 и -1).
От chvvl
К Иванов (А. Гуревич) (01.06.2006 06:12:04)
Дата 01.06.2006 08:31:51

Re: Так Вас...

Да нет конечно с Вами разговаривает бездарь решившая почесать языком
От Miguel
К chvvl (31.05.2006 15:27:16)
Дата 31.05.2006 21:38:34

Не понял

При чём тут высшая математика? Разве не в школе проходят, что у -1 два квардатных корня?

А "правила работы с комплексными числами" такие же, просто Вы там использовали многозначную функцию корня. Это уже работа с функциями, а не с числами.
От Баювар
К chvvl (31.05.2006 15:27:16)
Дата 31.05.2006 16:18:22

Не-а, более фундаментальна.

>1)1/sqrt(-1)=sqrt(-1)/(sqrt(-1)*sqrt(-1))=sqrt(-1)/(-1)= -sqrt(-1);
>2)1/sqrt(-1)=sqrt(1)/sqrt(-1)=sqrt(1/(-1))= sqrt(-1)

>Вывод: 1 = -1.
>Причина ошибки - использование правил предназначенных для работы с обычными числами для комплексных чисел.

Не-а, более фундаментальна. Понятие функции: возвращаем одно значение. Значение sqrt(4) будет 2, а не пара 2 и -2. Потому что мы определяем sqrt так, чтобы из пары, подходящей под оквадрачивание, выбрать только положительное.

Мы должны на комплексной плоскости либо обозначить критерий отбора "одного из двух", либо запретить пользоваться понятием sqrt. Может, Игорь С. уточнит-поправит?

Понятия, которыми вы оперируете, не указывают ни на что, кроме самих себя
От А.Б.
К Баювар (31.05.2006 16:18:22)
Дата 02.06.2006 10:18:10

Re: Вы с бритвой - поаккуратнее. :)

>Не-а, более фундаментальна. Понятие функции: возвращаем одно значение.

Помимо того - есть мат. логика. Которая заставит учесть ВСЕ правильные решения. И поступать так. как поступают при наличии модуля в уравнении. :)

Ошибка еще грубее. То что 1/i = -i абсолютно правильно. Но вот то, что ... i = -1 - вот ЭТО полный бред.

А вообще - i специфическое, но число. Можно даже посчитать ехр(i). :)