От Игорь С.
К Alexandre Putt
Дата 26.01.2005 21:34:38
Рубрики Теоремы, доктрины;

Как это в математике может не быть воспроизводимости?

>Большинство, если не все, проблем в философии имеют семантическую причину: разница в определяемых понятиях.

Тогда надо писать словарь, для перевода...

>Вот Вы утверждаете, что объективность - это проверяемость (а я - что универсальность). Давайте рассмотрим Ваше определение.

В данном случае это НЕ определение.

>В математике нет и не может быть воспроизводимости, потому что это критерий эмпирический.

Каким образом совершенно не зная математику, по большому счету, вы знаете что в ней есть, а чего быть не может? Я в ней работаю и говорю что есть и я с этим сталкиваюсь каждый день, а вы, упорствуете "не может". Может избавитесь от таких фраз про математику? Математика - в значительной степени эмпирическая наука. Точка.

>Воспроизводим может быть опыт в лаборатории, да и то при массе оговорок.

Я не понимаю Вашей фразы, а Вы сами понимаете? Во-первых, причем здесь "в лаборатории".
Во вторых, вы сами то пробовали воспроизводить математические утверждения? Получали хоть раз разные результаты?

>Математика оперирует чистыми абстракциями. Из набора базовых положений ТАВТОЛОГИЧЕСКИ выводятся результаты.

Чистых абстракций в природе не существует. С помощью только чистых абстракций вы никогда не сможите утверждать, что число равно нулю.

> Никакого фокуса. Не будете же Вы в самом деле доказывать "объективность" математики на том основании, что если и у Вас в Москве, и у какого-нибудь Вашего коллеги где-нибудь в Дели 2 + 2 = 4?

Именно это я и имею в виду. Именно это и называется объективностью. У любого моего коллеги 2+2 = 4, в Дели, в Москве, на Луне.

>Что касается (физической) воспроизводимости, то я Ваш аргумент элементарно "бью" с помощью наипростейшего аргумента из идеализма (который усвоен эмпириками вроде Юма или Беркли): никакое повторение опыта не служит подтверждением (верификацией) закона,

А ничего не говорю про закон. Я говорю про воспроизводимость. Берете - и воспроизводите.
В чем проблемы? А про закон мы поговорим потом.

> потому что это будет нарушением логического закона (если А, то Б. Имеем Б, стало быть А - ошибка!). Я могу даже ссылку притащить из авторитетного американского журнала Science, где обсуждается проблема верификации физических моделей.

Вы сами то её прочитали? Вы почему-то не хотите понять простую вещь - я не читатель, я писатель. Я непосредственно занимаюсь верификацией физических моделей. Поэтому ссылок я вам могу пару сотен накидать. А вот ваше понимание проблемы - это мне интересно. Его и высказывайте.

> Поэтому эмпирицизм всегда победит Ваш "объективизм" при данном раскладе.

Этого не может быть потому что этого не может быть никогда.

>Это элементарное наблюдение для общественных наук, где условия "мира" могут элементарно поплыть и предыдущие законы окажутся неверны (2 + 2 неожиданно станет 5 в XX веке), и на основе этого и должна строиться правильная методология науки.

Нафик такие общественные науки.

>Подытожим: 1) повторяемость любого опыта не говорит в пользу его подтверждения.

Подытожим. Вы подменяете вопрос, ибо подтверждение опыта не обсуждалось вообще.

> Вы можете только строить догадки, но у Вас никогда не будет (и не может быть) полной уверенности, что тот или иной "закон" будет работать в следующем опыте. Это только рабочая гипотеза.

У меня есть полная уверенность. Нет её у вас. Приобретайте уверенность.

>2) в математике нет опыта! Поэтому повторяемость тем более неприменима здесь.

Кто из нас математик?

Вы знаете что такое вычислительный эксперимент? Вы знаете что один из крупнейших математков работал только эмпирическим путем? Вы знаете, что эмпирика - ключевое в поиске и формулировке математических утверждений?

Вообще, если вы хотите продолжать бросать фразами, которые не понимаете, и не хотите воспринимать то, что говорится профессионалом, то наверное надо заканчивать. Я практически получил все, что хотел узнать.
От Alexandre Putt
К Игорь С. (26.01.2005 21:34:38)
Дата 27.01.2005 19:32:15

Разбор полётов, или почему я не люблю слово "нафик" в диспутах

Я готов спорить с любым человеком на любую тему исходя из допущения, что суждения этого человека будут отвечать хотя бы минимальным критериям разумности. Когда же в ответ на мои разумные замечания я получаю софистику в худшем смысле, когда истинность утверждения определяется текущей фазой луны, когда оппонент выкручивает руки лишь бы "сохранить лицо", мне не удаётся избавиться от впечатления, что я напрасно теряю время.

Я укажу Вам на некоторые очевидные софизмы, которыми Вы усердно снабдили наш разговор:

1.
> "Математика - в значительной степени эмпирическая наука. Точка."

> "...математика имеет дело с математическими объектами: точками, прямыми и т.д., но не имеет дело с нематематическими: расстояниями между зданиями, разностью затрат, плотностью вещества. Все эти объекты изучаются другими науками - физикой, экономикой и т.д. "

Очевидно, Вы либо не понимаете смысла слова "эмпирический", либо занимаетесь крючкотворством: вчера у Вас математика работает с математическими объектами (специально для Вас: ни точек, ни прямых не существует в природе, это абстракции, т.е., опять же специально для Вас, идеальные конструкции, которые существуют только в нашем разуме, "идеи"), а сегодня она оказывается "эмпирической", т.е. опытной наукой (откуда берётся опыт, надеюсь, подробно объяснять не надо: из реального мира, из эксперимента, из взаимодействия с вот этим реальным миром)

Первый софизм установлен (я надеюсь, у Вас хватит научной честности, чтобы это признать).

(Замечу для внимательных: здесь слово "эмпирический" может выступать как минимум в трёх смыслах, причём "квазиэмпиричность" математики, когда используются симуляции, не имеет ни малейшего отношения к данному обсуждению)

2. В предыдущей же цитате Вы по сути утверждаете, что понятие "расстояние" не относится к математике. Так как всем без исключения ясно, что это ложное утверждение, то здесь Вы преподнесли ещё один софизм.

3.
> "Математические законы - это самые простые, самые воспроизводимые из законов мышления. Вообще развитие идет от простого к сложному. То есть от законов математики мы поднимаемся к законам мышления, а не от мышленияя вообще, никому не известного, опускаемся к простых математическим законам."

Это опять таки софизм, так как всякому известно, что математика оперирует на основе логики (например, Рассел идёт ещё дальше и считает, что математика целиком может быть сведена к логике). Не будете же Вы в самом деле утверждать, что Вы родились математиком, а уже потом сказали "мама" и научились мышлению. Отталкиваясь от очевидной глупости, Вы снова применяете софизм.

4.
Мои слова:
>> Вот Вы утверждаете, что объективность - это проверяемость (а я - что универсальность). Давайте рассмотрим Ваше определение.

> "В данном случае это НЕ определение"

Раньше же Вы утверждали:

> "Объективность - воспроизводимость. Если мы можем воспроизвести факт - он объективен. "

Я конечно же понимаю, что Вы сейчас можете развести очередной софизм (например, притащить статью из философского словаря на тему "Определение") и начать доказывать, что Ваше предыдущее утверждение - вовсе не определение и т.д. Но я это "не покупаю", как говорят на Западе.

Кстати, совершенно непонятно, зачем Вам понадобился этот и следующий софизм, ведь они ничего не меняют. Неужели для простого стёба?

5.
Мои слова
>>Таким образом наука (математика) оперирует абстракциями, которые искусственны по определению.

Ваш ответ
> Искуственны, в смысле продукт разума человека?
> Да, но не его одного. Они еще продукт отражения мира.

Потрудитесь объяснить, где, кроме разума человека, отражается мир? (Только не надо софизмов про животных или про бога), Вы прекрасно поняли, о чём я: каким образом объект может отражаться где-то ещё, кроме как в сознании наблюдающего его субъекта? Опять же, Вы не добавили ничего нового к дискуссии, но Вам непременно нужно было возразить. Зачем?

6.
Мои слова:
>>Наука, которая решает абстрактные проблемы абстрактного мира никому не нужна. Впрочем, математика таковой не является.

> Не нужна. Но приходится с этим мириться.

Т.е. Вы утверждаете, что математика - решает абстактные проблемы абстактного мира (т.е. непрактична, "не нужна"). Дальше же Вы удивляетесь:

(Моя реплика, утверждающая практичность математики)
>>То, что проблемы не решаются непосредственно математиками, не говорит о том, что они не решаются другими. Как раз напротив, множество наук использует инструментарий математики для решения практических проблем. Да Вы и сами это знаете.

> "Да, знаю, тогда зачем Вы мне это пишите? В чем смысл реплики? Вы повторили то, что я знаю. Зачем, я не понял. В чем суть возражений?"

Т.е. Вы отнесли математику к непрактичным наукам, а затем начали отстаивать её практичность.

7.
Моя реплика:
>> Скажите, идея "время - деньги" - объективна?

Ответ:
> "Нет, идея дисконтирования объективна."

Опять софизм. Вы отказываетесь принять объективность неприятной Вам идеи "время - деньги", но при этом продолжаете настаивать на объективности этой же идеи, записанной в математическом виде.

8.
> "Нет финансовой математики. Нет физической математики. Нет химической математики. Нет китайской математики. Есть математика. "

Это тоже софизм, потому что финансовая математика (или, например, математика для экономистов) - это подмножество математики, в котором приводятся только те разделы математики, которые применяются соответствующими специалистами.

9.
Вы утверждаете:
> "Чистых абстракций в природе не существует. С помощью только чистых абстракций вы никогда не сможите утверждать, что число равно нулю. "

Возможно, слово "чистые" было излишне (это вопрос придирчивости), но мою мысль Вы прекрасно поняли. И опять же возражаете, противореча себе же:

> "математика решает проблемы мира математических абстракций"

10.
> "Именно это я и имею в виду. Именно это и называется объективностью. У любого моего коллеги 2+2 = 4, в Дели, в Москве, на Луне. "

Не совсем софизм, но "пограничный случай". После того как я Вам два раза объяснил, почему такое понимание моих слов будет глупостью, Вы, не вникнув в мои аргументы, говорите мне то, что я просил мне не говорить. Ещё раз, решение 2 + 2 - это тавтология, а не опыт.

Ответьте на такой вопрос: могло ли у Вашего коллеги в принципе не получиться 4 в данном случае? Без софизмов.

============

В довершение, несколько Ваших манипуляций (я неоднократно предупреждал участников форума, что не потерплю манипуляций, так что не обижайтесь):

> "относить математику к западной цивилизации - абсолютно неправильно. "

Это не так критично, но я всё же не удержусь: я всегда в нашей дискуссии утверждал прямо противоположное. У греков была своя математика, на Западе - своя математика и т.д. Вы же мне приписали диаметрально противоположный взгяд и тут же его легко опровергли.

> "Кто из нас математик?", "Я - профессиональный математик, по образованию -чистый" и т.д.

Это называется монополизировать право на истину. Получается, только Ваши суждения на данную тему а приори являются истинными, суждения Вашего оппонента - глупость, над которой можно посмеяться свысока. На меня это не действует.

Напоследок, пожалуй, главный Ваш софизм: признавая объективность математики (что, следуя определению Лакатоша, есть догматизм), Вы при этом отрицаете её формализм. Более того, прямо вопреки догматизму, приводя примеры квазиэмпиричности математики, Вы встаёте на точку зрения её субъективности. Т.е. Вы одновременно отстаиваете две противоположные точки зрения.

Мне остаётся только одно: предложить Вам спокойно разобраться с самим собой (здесь я Вам не помощник), выбрать наиболее убедительную с Вашей точки зрения сторону в приведённых выше софизмах (они все, специально для Вас, намерянно дуалистичны, т.е. Вам достаточно будет только бросить монетку в каждом случае - очень просто), затем самостоятельно выработать аргументы за выбранную позицию и аргументы против другой позиции, наконец, всё это оформить и уже с непротиворечивой теорией продолжить эту дискуссию. Я же не могу одновременно утверждать и опровергать себя, как и спорить с такими людьми.

Напоследок, я довольно наслушался от Вас дерзостей и бахвальства. Если Вам больше нечего сказать о решаемой проблеме, то прошу Вас не писать вовсе.
От Игорь С.
К Alexandre Putt (27.01.2005 19:32:15)
Дата 27.01.2005 23:54:12

В завершение дискусии

>Я готов спорить с любым человеком на любую тему исходя из допущения, что суждения этого человека будут отвечать хотя бы минимальным критериям разумности.

Вас не смущает, что большинство окружающих (докторов физико-математических наук) считает не так, как Вы?

>Когда же в ответ на мои разумные замечания я получаю софистику в худшем смысле, когда истинность утверждения определяется текущей фазой луны, когда оппонент выкручивает руки лишь бы "сохранить лицо", мне не удаётся избавиться от впечатления, что я напрасно теряю время.

Не тратьте, уважаемый, не тратьте. Вам еще надо заскочить в Академию Наук поучить их там уму разуму, да и Гарвард с Кембриджем наверное заждались.

>Я укажу Вам на некоторые очевидные софизмы, которыми Вы усердно снабдили наш разговор:

Спасибо, уважаемый. Один я разберу. На остальные - не будем тратить силы.

>1.
>> "Математика - в значительной степени эмпирическая наука. Точка."
>
>> "...математика имеет дело с математическими объектами: точками, прямыми и т.д., но не имеет дело с нематематическими: расстояниями между зданиями, разностью затрат, плотностью вещества. Все эти объекты изучаются другими науками - физикой, экономикой и т.д. "

>Очевидно, Вы либо не понимаете смысла слова "эмпирический", либо занимаетесь крючкотворством: вчера у Вас математика работает с математическими объектами (специально для Вас: ни точек, ни прямых не существует в природе, это абстракции, т.е., опять же специально для Вас, идеальные конструкции, которые существуют только в нашем разуме, "идеи"), а сегодня она оказывается "эмпирической", т.е. опытной наукой (откуда берётся опыт, надеюсь, подробно объяснять не надо: из реального мира, из эксперимента, из взаимодействия с вот этим реальным миром)

А что, разве она не может работать с тем и другим? Причем - по разному? Она берет конкретное - реальный мир, но не "работает" с ним, а создает на основе его (и в этом смысле она в значительной степени эмпирическая) абстракции - математические объекты и уже с ними работает. Восхождение от конкретного к абстрактному проходили?

Ну, остальное уж сами...

>Напоследок, я довольно наслушался от Вас дерзостей и бахвальства. Если Вам больше нечего сказать о решаемой проблеме, то прошу Вас не писать вовсе.

Ну, извините. Я действительно местами горячился, но, понимаете, как пример, когда двоечник начинает учить профессора, что представлет собой его предмет, то... Я пытался намекнуть, что я кое - что знаю в этом предмете, но для вас это оказалось бахвальством.

Но все: больше - не пишу.

Да, а Вы не пробовали поучить свою маму рожать? Как у неё (мамы) с монополией на истину в этом вопросе?

Успехов.
От Михаил Едошин
К Alexandre Putt (27.01.2005 19:32:15)
Дата 27.01.2005 21:46:16

Ну что ж — видать, не в коня корм

Видит бог, сделали что смогли — вопросы были заданы, подсказки подсказаны, примеры приведены. Разбираться вы не хотите, предпочитаете хамить людям старше и умнее вас. Обратитесь к психологу, похоже, вам не помешало бы избавиться от некоторых проблем — лучше мягкая терапия, чем отнюдь не щадящее естественное лечение.
От Михаил Едошин
К Игорь С. (26.01.2005 21:34:38)
Дата 27.01.2005 17:49:48

Гадаю

> Вы знаете что один из крупнейших математков работал только эмпирическим путем?

Не Винер?
От Игорь С.
К Михаил Едошин (27.01.2005 17:49:48)
Дата 27.01.2005 19:34:27

Я имел в виду индийского самородка

>> Вы знаете что один из крупнейших математков работал только эмпирическим путем?
>
>Не Винер?

Рамануджана. Получил много потрясающих результатов в теории чисел.

http://www.univer.omsk.ru/omsk/Edu/Math/rramanujan.htm

Но наверное можно много таких примеров привести. Тем более в области вычислительной математики, где вообще без "давайте пропробуем" ничего не сделаешь.
От Михаил Едошин
К Игорь С. (26.01.2005 21:34:38)
Дата 26.01.2005 23:44:18

Эк вы строго :)

Есть ведь и математики, считающие, что вся математика — это, по сути, тавтология. Вон, Арнольд такие ужасы рассказывает о французской математике и бурбакистах... Они, конечно, неправы, но может быть как раз какой-нибудь такой и повлиял на товарища? Откуда ж товарищу узнать правду, если одни математики говорят одно, другие — другое? :)

Тем не менее, думающий человек вполне может разобраться в вопросе. Вот у меня тут есть очень интересный отрывок из также очень интересной книги «История математики».

====

Закладывая фундамент исчисления бесконечно малых, ученые XVII в. прежде всего отправлялись от античного наследия, например от идей математического атомизма или интегральных сумм Архимеда. Но магистральный путь в создании исчисления бесконечно малых приходилось прокладывать заново, руководствуясь совсем иными целями и средствами. Это относится прежде всего к центральной идее универсального научного метода, реализацией которой было операционное исчисление бесконечно малых, подобное буквенной алгебре. Это относится и к представлению функций в форме аналитических выражений, особенно бесконечных рядов, произведений и непрерывных дробей. Во всем этом пришлось не только далеко выйти за рамки античных методов, но и отказаться на довольно долгое время от соблюдения норм научной строгости, бывших стандартными в доказательствах по методу исчерпывания.

Новые методы и математическая строгость

С самого начала XVII в. многие выдающиеся математики стали применять инфинитезимальные приемы, опиравшиеся на представление фигур как сумм бесконечного числа бесконечно малых элементов того же или даже низшего измерения, что и рассматриваемая фигура; во втором случае иногда для осторожности говорили не о сумме, а о совокупности неделимых, образующих фигуру. При вычислении пути по данной непрерывно меняющейся скорости принимали, что в весьма малые промежутки времени скорость постоянна, а от одного промежутка к другому меняется скачками. Чтобы провести касательную, кривую трактовали как ломаную с бесконечно большим числом бесконечно малых сторон. В нарушение законов арифметики в инфинитезимальных равенствах пренебрегали бесконечно малыми слагаемыми высших порядков и т. д. Так поступали Непер, Кеплер, Декарт, Ферма, Кавальери и многие, многие другие вплоть до Ньютона и Лейбница. Именно эти люди в большинстве своем интенсивно развивали аппарат вычислений с бесконечно малыми, в то время как учерные, применявшие в несколько облегченной форме методы древних, как правило, мало заботились о совершенствовании технических средств, без которых движение вперед было невозможно.

Очень скоро сложилась парадоксальная ситуация: результаты, достигнутые математиками, работавшими в классическом стиле, были исчезающе малы по сравнению с результатами, достигнутыми математиками, работавшими в новом, более свободном стиле. Основное нововведение состояло, коротко говоря, в открытом применении неуточненных и неуточняемых понятий бесконечно большого и бесконечно малого, которые лишь в неявной форме имелись в творениях греков (о «Послании» Архимеда, повторяем, в XVII в. не знали). Термин «бесконечное» более не отпугивает математиков, причем бесконечными величинами начинают смело оперировать, следуя чаще всего аналогиям с действиями над конечными величинами, а заодно применяются неполная индукция и умозаключения по вероятности. Множество новых открытий оправдывало эту смелость. Несомненная нестрогость приемов обычно не влекла за собой ошибок, от которых исследователей уберегала правильная интуиция.

<...>

Любопытны высказывания некоторых ученых. Так, Кавальери утверждал, что строгость — забота философов, а не геометров. Блез Паскаль несколько позднее говорил, что не логика, а приличествующая случаю ясность достаточна для правильных умозаключений.

<...>

Новым критерием, позволявшим отделить корректное заключение от некорректного, было, как правило, умение построить аналитический аппарат, допускавший числовую проверку прямым вычислением. Современниками такое уязвимое положение ощущалось очень остро. Мишель Ролль, резюмируя итог столетних усилий схватить существо вопроса, писал, что новое исчисление есть коллекция гениальных ошибок. Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.

Триумф новой науки побуждал математиков неустанно совершенствовать свои приемы на основе правильно понятого «экспериментального» метода. Решая конкретные задачи, они вырабатывали новые и новые эвристические схемы математических рассуждений. Изучая работы творцов нового анализа, от Кеплера и Кавальери до Ньютона и Лейбница включительно, можно увидеть, как не очень ясные индуктивные приемы превращаются, с одной стороны, в некую общую науку — эвристику (Декарт, Лейбниц), а с другой стороны, становятся мощными и верными методами математики (математическая индукция, рекуррентные соотношения и интерполяция)...

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3 т. Т. 2. Математика XVII столетия // Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970. С. 136–139

====

Имеющий уши да услышит.

>Вы знаете что один из крупнейших математков работал только эмпирическим путем?

Я не знаю — кто?

> Вы знаете, что эмпирика - ключевое в поиске и формулировке математических утверждений?

Тут, кстати, не удержусь и приведу еще цитату из фон Неймана; интересна она прежде всего тем, что Нейман вроде бы не считает математику эмпирической наукой, но выводы, к которым он приходит, свидетельствуют как раз об обратном.

====

Самая жизненно важная отличительная особенность математики состоит, по-моему, в ее совершенно особой связи с естественными науками или, если рассматривать все в более общем плане, с любой наукой, интерпретирующей опыт на более высоком уровне, нежели чисто описательный.

Большинство людей, математиков и нематематиков, согласятся с тем, что математика не является эмпирической наукой или что она по крайней мере по образу действий отличается в некоторых весьма важных отношениях от методов эмпирических наук. Тем не менее развитие математики весьма тесно связано с естественными науками. Один из ее основных разделов — геометрия — зародился как естественная, эмпирическая наука. Некоторые из наиболее ярких идей современной математики (я убежден, что это — ее лучшие идеи) отчетливо прослеживаются до своих истоков в естественных науках. Математические методы пронизывают «теоретические» разделы естественных наук и доминируют в них. Главный критерий успеха в современных эмпирических науках все в большей мере усматривают в том, насколько эти науки оказываются в сфере действия математического метода или почти математических методов физики. Неразрывная цепь последовательных псевдоморфоз, пронизывающая естественные науки, сближающая их с математикой и почти отождествляемая с идеей научного прогресса, становится все более очевидной. В биологию во всевозрастающей степени проникают химия и физика, в химию — экспериментальная и теоретическая физика, в физику — наиболее изощренные по своей математической форме методы теоретической физики.

Природа математики обладает весьма замечательной двойственностью. Эту двойственность необходимо осознать, воспринять и включить ее в круг представлений, неотъемлемых от предмета. Эта двуликость присуща лицу математики, и я не верю, что можно прийти к какому-нибудь упрощенному единому взгляду на математику, не пожертвовав при этом существом дела.

...Я считаю, что довольно хорошее приближение к истине (которая слишком сложна, чтобы допускать что-нибудь, кроме аппроксимации) состоит в следующем. Математические идеи берут свое начало в эмпирике, но генеалогия их подчас длинна и неясна. Но коль скоро идеи эти возникли, они обретают независимое, самостоятельное существование. Их лучше сравнивать с художественными произведениями, подчиняющимися чисто эстетическим оценкам, чем с чем-либо другим и, в частности, с эмпирическими науками. Однако здесь имеется одно обстоятельство, на которое, по моему убеждению, необходимо обратить особое внимание. Когда математическая дисциплина отходит достаточно далеко от своего эмпирического источника, а тем более когда она принадлежит ко второму или третьему поколению и лишь косвенно вдохновляется идеями, восходящими к «реальности», над ней нависает весьма серьезная опасность. Она все более и более превращается в бесцельное упражнение по эстетике, в искусство ради искусства. Это не обязательно плохо, если вокруг данной дисциплины имеются другие родственные разделы математики, имеющие более тесные связи с эмпирическими науками, или если данная дисциплина находится под влиянием людей с исключительно хорошо развитым вкусов. Но существует серьезная опасность, состоящая в том, что математическая дисциплина начнет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что поток вдали от источника разделится на множество мелких рукавов и что соответствующий раздел математики обратится в беспорядочное нагромождение деталей и всякого рода сложностей. Иначе говоря, на большом расстоянии от эмпирического источника или в результате чересчур абстрактного «инбридинга» [от англ. inbreeding — скрещивание близкородственных форм] математической дисциплине грозит вырождение. При появлении того или иного раздела математики стиль обычно бывает классическим. Когда же он обретает признаки перерождения в барокко, это следует расценивать как сигнал опасности.

...При наступлении этого этапа единственный способ исцеления, на мой взгляд, состоит в том, чтобы возвратиться к источнику и впрыснуть более или менее прямо эмпирические идеи. Я убежден, что это всегда было необходимо для того, чтобы сохранить свежесть и жизненность математической теории, и что это положение останется в силе и в будущем (из статьи «Математик»).

====

Надеюсь, вам понравилось :)

С уважением,
Михаил
От Игорь С.
К Михаил Едошин (26.01.2005 23:44:18)
Дата 27.01.2005 23:58:51

Мне понравилось

>Есть ведь и математики, считающие, что вся математика — это, по сути, тавтология. Вон, Арнольд такие ужасы рассказывает о французской математике и бурбакистах... Они, конечно, неправы, но может быть как раз какой-нибудь такой и повлиял на товарища? Откуда ж товарищу узнать правду, если одни математики говорят одно, другие — другое? :)

Увы...

>Тем не менее, думающий человек вполне может разобраться в вопросе. Вот у меня тут есть очень интересный отрывок из также очень интересной книги «История математики».

Отрывок отличный, спасибо...
От Дмитрий Кропотов
К Михаил Едошин (26.01.2005 23:44:18)
Дата 27.01.2005 09:30:19

Почему математические методы так "непостижимо эффективны в ест.науках"?

Привет!
http://www.gubin.narod.ru/FMM-12.HTM
В.Губин
О различии математики и наук о реальном мире

Вообще познание направлено на то, чтобы мы знали мир и могли выяснять те или иные последствия по типу решения задач по данной аксиоматике. И в физике, и в математике цель - построение дедуктивных схем. Однако каких схем? В физике - в каком-то смысле близких к реальности, что тем или иным способом проверяется, оценивается. В математике - просто формально верно построенных, без оглядки на какое-то соответствие с реальным миром. В этом физика и математика кардинально различаются вплоть до такой степени, что идеал цели, научности и правильности математики оказывается неприменимым к наукам о реальном мире. Непонимание этого приводит многих к превратным представлениям о достижениях и ценностях многих теоретических конструкций, а также к неправомерным и несостоятельным требованиям и претензиям по отношению к вполне научным подходам неформальных наук (еще одна по существу формальная наука - кибернетика, наука об управлении объектами). В математике доказательство заканчивается точкой и остается в таком качестве верным навсегда, как бы сильно ни развилась математика впоследствии. А в физике и во всех науках о реальности, решающих обратные (и всегда конечные) задачи в неисчерпаемо сложной реальности, доказательство не заканчивается никогда. Оно бывает лишь относительно законченным. Странным было бы наличие в наборе математических утверждений (теорем) более и менее убедительных, твердо установленных и сомнительных, да еще в разной степени. А в физике такая ситуация совершенно обычна. Даже после появления некоторой интерпретации, принятой практически всеми, возможно ее неприятие некоторыми учеными, так как невозможно формально доказать, что она - единственно правильна. И у физика должна быть выработана интуиция оценивать теории по степени их обоснованности. В качестве примера можно привести стандартное для учебников разрешение так называемых парадоксов Гиббса (об аддитивности энтропии) с помощью учета квантовомеханической тождественности частиц. “Правильный” (с хорошей интуицией) физик еще до упорядоченных, отчетливых размышлений должен отнестись к этому объяснению как к одному из самых сомнительных в физике. Он должен почувствовать, что это объяснение не встраивается в общую физическую картину. И верно. Оно ведь означало бы, что в классическом мире (без квантовой механики) аддитивности энтропии не было бы, так что тепловая машина работала бы как-то странно, на что вряд ли бы кто согласился. [9]

Математика в классификациях наук стандартно проходит как естественная наука. Однако если отстроиться от ее применений и тем более от наиболее обычных - к физике, - то приходится заключить, что сама по себе она естественной наукой не является. В ней нет требования соответствия ее аксиоматических конструкций чему-то природному или общественному и вообще внешнему [10]. Поэтому говорить по отношению к ней в связи с опытом и реальностью - это говорить всего лишь о ее применении как вспомогательном инструменте. Ее можно только использовать для взаимного согласования конечных и обозримых объектов, выделяемых науками о реальном мире - например физикой или экономикой. Она или язык (о чем только обычно и говорят, если ее считают инструментом), или набор методов и схем оценки материала, причем заданного в удобном для обработки виде - не необозримого, а представленного ей другими частными науками в виде конечных (обозримых для ее аппарата) объектов.

Эйнштейн писал [11]: “Чисто логическое мышление само по себе не может дать никаких знаний о мире фактов; все познание реального мира исходит из опыта и завершается им. Полученные чисто логическим путем положения ничего не говорят о действительности. Галилей стал отцом современной физики и вообще современного естествознания именно потому, что понял эту истину и внушил ее научному миру.”

Интересно, что вполне отчетливое понимание математики как чисто формальной науки, в принципе не зависящей от наук о природе (и обществе), отнюдь не повсеместно распространенное и ныне, выказал еще в позапрошлом веке Вл.Соловьев [12]: “Вообще, математику можно игнорировать самое существо зоологии или ботаники, от этого его наука нисколько не изменится. ...знание математики в известной мере необходимо для физика, но нельзя сказать обратно, чтобы знание физики было необходимо для математика. Напротив, так как математика изучает лишь общие количественные отношения всего существующего (тут, сославшись на “все существующее”, он выразился неточно, но его заключение правильно: - В.Г.), то для нее всякое частное бытие безразлично. Изучая чистые формы пространства и времени, числа (и здесь сами пространство и время совершенно необязательны, автор все-таки сужает природу математики: речь должна идти о зависимостях вообще и об установлении границ вообще. - В.Г.), математику совсем не нужно знать, какие конкретные вещи и явления подлежат этим формам. Всякое применение математических форм к конкретным явлениям положительным - физическим и химическим - есть для математики только частный случай, не имеющий никакой необходимости. Физические и химические явления подчиняются известным математическим законам, но нисколько этими законами не объясняются. ... Физика зависит от математики, но математика нисколько не зависит от физики etc.”

Довольно известен (по крайней мере пока еще) вопрос, заданный Е.Вигнером о причине “непостижимой эффективности математики в естественных науках” [13].

Вопрос можно понять, во-первых, в следующем смысле: почему именно математика применяется для - для чего? - в конкретных науках, и почему именно ее использование придает такую мощь, действенность и результативность применяющим ее наукам, так что без нее они не смогли бы быть настолько эффективными, т.е. успешными с большой точностью и в чрезвычайно разнообразных обстоятельствах? Ответ на вопрос - для чего? - сам говорит об основаниях ее применения: она применяется как инструмент для систематического упорядочения (включая применение мер) материала и как язык для выражения связей между объектами, а также для законообразного сохранения этих связей в процессах (при интерполяциях и экстраполяциях), т.е. для сохранения точности связей при переходе к другим условиям, когда закономерности этих связей установлены. А с малой точностью и в узком диапазоне обстоятельств можно было бы работать и без математики, что когда-то только и делалось на заре человечества и делается в массе случаев сейчас. Более того, она предоставляет удобную возможность задавать новые вопросы, позволяющие уточнить знания, поставить задачу для эксперимента, ибо при затруднениях выразить полученные данные закономерно они не могут быть сохранены, и тогда сам вопрос об их получении отпадает или вообще не возникает. Примерно как письменность нужна в первую очередь для выражения (включая и сохранение) сложных мыслительных построений.

А в остальном математика эффективна по той же причине, по какой вообще эффективна деятельность. Эффективно, во-первых, уместное применение математики, а именно - подходящее применение ее к упорядочению связей конечных (обозримых) объектов, выделенных конкретными науками, а не к самой реальности, что есть забота конкретных наук о природе и обществе. Во-вторых, эффективность возникает лишь при допустимости некоторой неточности результатов. В противном случае никогда никакого успешного предсказания нельзя было бы сделать, и не было бы повторения экспериментов - основы научного подхода. Ни сама математика не способна описать точно мир и ориентироваться и работать в бесконечно сложном реальном мире, ни абсолютно точный результат никогда не может быть получен, и удовлетвориться реальным результатом можно только при ограниченной требовательности. А при наличии двух указанных условий ее применения могут быть эффективными.

В связи с тем, что чистая математика не является естественной наукой, не есть наука о природе или обществе, не требует согласования с чем-то внешним по отношению к ней, для работающих в ней ученых нет внутренней надобности изучать теорию познания реального мира, его устройство и отношение к нему субъекта, а также отношения между субъектами. В математике формально царствует чистая формальность, и многие в ней работающие не понимают самой сути и методологии других наук. Мы и наблюдаем в действительности, что многие математики, весьма неуверенно ориентируясь в реалиях других наук, очень часто без опаски подают “туземцам” советы, якобы снимающие их трудности. Фейнман очень верно подметил [14]: “Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им в сущности безразлично, о чем они говорят. ? Другими словами, математик готовит абстрактные доказательства, которыми вы можете воспользоваться, приписав реальному миру некоторый набор аксиом. Физик же не должен забывать о значении своих фраз. Это очень важная обязанность, которой склонны пренебрегать люди, пришедшие в физику из математики. Физика - не математика, а математика - не физика. ? в физике вы должны понимать связь слов с реальным миром.”

О месте математики в науках о реальном мире

С другой стороны, ученые, исследующие природу, не понимая достаточно отчетливо места математики в развитии своей науки, тоже, бывает, не слишком правильно относятся к математике, используя ее не всегда уместно, точнее - ошибочно опираясь на нее тогда, когда надо опираться на конкретную научную теорию или на опыт. Автор этой заметки в свое время с удивлением обнаружил, что несколько групп ведущих в своей области ученых строили модели объектов, смешивая реальный объект с его аппроксимацией, которая, конечно, слишком проста для выдачи обоснованных предсказаний во всем спектре свойств объекта и не обеспечивает законности слишком смелых экстраполяций.

Другой пример многолетних заблуждений обнаружился в области, где работали одни из самых квалифицированных теоретиков. Это было математическое “доказательство” теоремы Гиббса об энтропии смеси газов разных сортов. В процедуре доказательства дифференциал энтропии разбивали на сумму дифференциалов соответственно парциальным давлениям отдельных газов в исходном объеме [14]. Ну и соответственно получали, что энтропия смеси в данном объеме равна сумме энтропий разных составляющих газов по отдельности, помещенных каждый в свой объем, равный полному исходному.

Вообще-то явно чувствуется, что ответ откровенно неверен. Так, если бы все частицы были различными, то пришлось бы суммировать слишком уж много систем, которые заняли бы место размером побольше самой Земли. В нормальной термодинамике такая модель кажется чрезвычайно странной. Однако почтение перед математикой подавляет сомнения и заставляет закрывать глаза на эту несообразность. Однако (скажем еще раз) ошибка здесь не математическая, а методологическая, потому что использованное здесь прямолинейное применение математического равенства в данном случае не обоснованно. Приравнять что-то в физическом выводе можно, лишь если физика доказала, что нечто в левой части правильно моделируется тем, что пишут в правой части. Показать это - дело не математики, а физики. И если физика желает выяснить, можно это делать или нет, то она это должна делать сама, а не спрашивать математику. И лишь после одобрения физикой следовало приравнивать дифференциал сумме “парциальных” дифференциалов. А тут поступали как раз наоборот, и исходное арифметическое приравнивание одного дифференциала сумме “парциальных” должно означать в этом случае взятие за исходное положение того, что получают в качестве вывода.

В действительности в той термодинамике, для которой намеревались доказать теорему, парциальные давления, наводящие на мысль разбить дифференциал на части, вообще не являются наблюдаемыми. При наличии в качестве измерительного прибора поверхности только одного объема наблюдаемым является только полное давление в нем. Это мы и механика знаем, что газы разные, но в обычной работе с газами, результаты которой порождают представление об обычной термодинамике, это никак не используется, и разносортность газов скрывается одной и той же макроскопической динамикой - зависимостью давления при данном объеме только от полной энергии, но не от вида газа. Так что не было никакого основания записывать исходное равенство. Описанное доказательство есть чистая тавтология.

В книге [15] только что изложенное “доказательство” дублируется аналогичным “физическим”, основанным на разделении смеси газов с помощью полупроницаемых перегородок на несколько объемов, равных каждый по величине исходному, с отдельными газами. И здесь совершается аналогичная методологическая ошибка: в той же обычной термодинамике нет полупроницаемых стенок, поэтому доказательство к ней не относится.

В общем можно сказать, что в тандеме математики и некоторой частной науки о мире ведущей является именно та конкретная наука, а не математика, которая должна выступать как служанка науки о реальном мире. Возможно, эта служанка может замечательно умыть, причесать и затянуть в корсет свою госпожу, но все же никогда не должна становиться всевластной хозяйкой, чтобы самой золотой рыбке не пришлось стать Золушкой.

Об особом характере математического моделирования

Что же касается раздела прикладной математики, где занимаются экстракцией математических зависимостей, так или иначе описывающих поведение объектов и свойств, выделяемых конкретными науками из реальности (математическое моделирование), то это особая наука, не совпадающая с чистой математикой, и вся она должна быть проникнута научной методологией. Вклад внематематического происхождения, привязывающий классифицирующие (выбирающие решения) математические операции к реальности, в таких работах совершенно очевиден, и работающие здесь специалисты обычно довольно хорошо осознают качественное и “генетическое” различие этих вкладов и предпринимают усилия по развитию и совершенствованию обеих сторон проблемы.

Принципиальной чертой этих задач является то, что они обратные и, следовательно, не имеют, вообще говоря, единственного решения, а бывает, что и никакого (переопределенные задачи). Для переопределенных задач приходится придумывать в качестве выхода некоторые близкие в определенном смысле решения, то есть требуется обдумывать и волевым образом придавать смысл некоторому искусственному решению, вводя в рассмотрение вопросы адекватности решения задачи чему-то стоящему вне ее (понимаемой в узко-постановочном смысле), причем понимание адекватности может быть весьма разнообразным, и уж во всяком случае отнюдь не совпадающим с требованием точного описания как сущности, так и формы явления - все как при общем познании. Адекватность может пониматься примерно так же, как ее понимает нормальная теория познания: отражение, разумеется, не совпадает с отражаемым, но зависит от него, как бы частично содержит его в другой форме.

Полезно обратить внимание на обычный в математическом моделировании выбор из множества возможных решений (обратной задачи) наиболее гладкого (или простого) в некотором смысле решения. Например, применяется регуляризация задачи аппроксимации данных путем обрыва аппроксимирующего ряда. Этот прием - следствие осознанного или не осознанного использования принципа бритвы Оккама, одного из самых важных и мощных общенаучных принципов познания [16]. В данном случае он применяется как момент выполнения задачи познания при нормальном реалистическом понимании адекватности решения (теории). Для самой же математики этот методологический прием совершенно чужд, его в ней нет. Выбор варианта регуляризации - это не математическая задача.

О критериях правильности

Напомню, что формалисты типа Фейерабенда, частично повторяя Беркли (“одна простая идея может быть образцом или изображением только другой идеи. Пока же они различны, одна не может походить на другую.” “? на что может быть похоже ощущение, кроме ощущения?” ([17], с. 47)) и утверждая непереводимость смыслов и несовместимость теорий, понимают адекватность именно как полное совпадение, которое, естественно, невозможно, в силу чего и ударяются в более или менее полный произвол - эпистемологический анархизм [18]. Им бы логично и последовательно было восклицать “anything goes!” с позиций отношения математики ко множеству формально допустимых решений, а не с позиций познавательной задачи: именно для математики никакое из этих решений не лучше и не хуже другого, но не для методологически правильного познания. Почему-то сторонники эпистемологического анархизма, увлекаясь формальной логичностью, не обращают внимания на то, что наличный опыт все-таки что-то говорит нам о мире, а не совсем уж бесполезен. Этот момент важен при анализе применимости математического идеала правильности - полной и строгой доказанности - к выводам наук о реальном мире. Некоторые требуют совсем строгих доказательств во всех без исключения вещах (правда, обычно от других). Принять понимание и подход Фейерабенда всерьез означало бы признать полную бессмысленность математического моделирования в целом.

Дефектом неуместного формализаторства (или формализаторства в неуместной степени) является непонимание нереалистичности подхода с требованием перенесения математического критерия полной формально-логической законченности доказательств во все другие науки. Под логикой доказательств понимают чисто формальную логику, применение которой нереально для неисчерпаемо сложных явлений, которые невозможно полно и точно охватить никакими наборами характеристик и описаний. В действительности сами требующие такой “строгости” обычно в своих примерах, советах и рекомендациях, не умея выделять главных звеньев реальных проблем, ограничиваются простейшими комбинациями куцых обрывков смехотворных банальностей вплоть до мистических и религиозных. Наихудшим следствием подобного формалистского взгляда является непонимание и отбрасывание истинно реалистического и научного - диалектического - рассмотрения событий и дел в их историческом возникновении, связях и развитии.

В общем, принципиальное отличие задачи математики от задачи физики и других наук о реальности отчетливо и существенно разводит математические и физические критерии и идеалы научности (ср. с [19]) при сближении физических с общими идеалами и критериями научности при изучении реального мира. И это сближение таково, что даже философия подобно бесспорно научной физике оказывается научной в той степени, в какой и поскольку в ней научными методами систематически изучаются вопросы о том, что и в каком смысле существует в мире и как мы это познаем (см. дискуссию о том, наука или не наука философия, в журнале “Философские науки” в 1989 г., начиная с № 6).

О преподавании физики не как математики

Дополнительно хотелось бы указать на одну особенность изучения физики, повидимому существенно отличную от изучения математики. Работники вузов, имеющие отношение к приемным экзаменам по физике, отмечая относительно слабую подготовку абитуриентов по ней, обычно объясняют это тем, что в школе ее не проходят как точную науку. Но, похоже, это объяснение несколько поверхностно, и оно в значительной степени основывается на представлении о близком подобии духа физики духу математики, что в действительности неверно. Физике невозможно хорошо научиться, не научившись чуть ли не зрительно, чувственно, так и напрашивается сказать: физически, - представлять картину, соответствующую задаче. Если в математике по крайней мере большая часть задач решается формальной техникой, то в физике после формулировки задачи требуется на самом деле ее себе правильно поставить, для чего и надо представить себе процесс в его взаимосвязях и движении. А пока учащийся не научится так ставить себе задачу, то есть сначала заниматься именно построением в голове соответствующей картины, которую он потом должен адекватно отразить подходящими уравнениями, он будет “плавать”. Поэтому начальное преподавание физики должно быть медленным, преподаватель должен вплоть до показа руками пояснять процессы, их варианты и суть, объяснять школьникам то, что они много раз видели, но не осознавали и не приводили в согласованный вид. Первоначальное обучение должно сопровождаться решением большого количества простых задач для выработки “физического мышления”. В этом отношении представляется совершенно ошибочной и вредной замена комплекта учебника и задачника по физике (типа старого задачника под редакцией П.А.Знаменского) одним учебником с вкрапленными в него немногими почти случайными задачами. Впрочем, последнее относится и к математике.

В качестве примера чрезвычайной легкости появления неправильного (что показано в [5, 20, 21]) понимания весьма простой по идее и форме задачи можно привести объяснение Пригожиным термодинамической выделенности направления стрелы времени при симметрии ее в механике. Для получения эффекта движения приготовленной в неравновесном состоянии системы только к равновесию (замечу - в редукционистском подходе, то есть как следствие собственного поведения частиц системы) Пригожин запрещает природе реализацию неподходящей половины априори возможных начальных микросостояний (это его “принцип отбора” [22], [23, с. 227]). При этом он в объяснении вынужденности этой меры ссылается на природу:
“В о п р о с о т о м, ч т о ф и з и ч е с к и р е а л и з у е м о и ч т о н е р е а л и з у е м о,
э м п и р и ч е с к и й” ([23], с. 229). Однако рассматриваемая им задача - чисто модельная, к природе уже не имеющая никакого отношения, в ней можно получить обычные термодинамические эффекты (при нормальном наблюдателе) и нет и неоткуда взять закона природы, запрещающего реализацию обращенных скоростей.

По-видимому, в заключение следует сказать, что вообще физики часто думают и оперируют явлениями, движениями и приближенными образными моделями, а не структурированными по “правильным” математическим канонам уравнениями, рядами и спектрами, препарирующими процессы на возможно отсутствующие действительно составляющие, так что им при этом не приходится проделывать искусственно добавляемых технических преобразований, способных порождать неестественные для дела (и реальности) затруднения. Это ближе к природе, которая, по выражению Эйнштейна, интегрирует (движется, развивается) эмпирически.

От Игорь С.
К Дмитрий Кропотов (27.01.2005 09:30:19)
Дата 28.01.2005 00:00:31

Губин под математикой понимает только

математику теорем и игнорирует математику идей. А последняя гораздо более важная.
От Михаил Едошин
К Дмитрий Кропотов (27.01.2005 09:30:19)
Дата 27.01.2005 15:06:01

Губин здесь не совсем прав

Его можно понять — цель статьи в обосновании (совершенно естественной) «нечеткости» и «неполноты» многих научных аргументов. Для него образец четкости и полноты — математика. Он совершенно верно указывает, что в других науках очень часто невозможно «доказать» что-либо в «математическом стиле». Но когда он усматривает причину этого в том, что математика не связана с реальным миром

>И в физике, и в математике цель — построение дедуктивных схем. Однако каких схем? В физике — в каком-то смысле близких к реальности, что тем или иным способом проверяется, оценивается. В математике — просто формально верно построенных, без оглядки на какое-то соответствие с реальным миром.

он уходит не в ту степь. Я же привел отрывок из «Истории математики»; из него явно следует, что вовсе не формальная верность каким-то случайным, не связанным с реальным миром правилам «построения дедуктивных схем» позволила открыть дифференциальное и интегральное счисление, а как раз наоборот. И это не один пример — взять хоть открытие греками иррациональности. Да и вообще, если бы математика была просто случайной игрой ума, зачем нужно было бы с боем вычислять цифры числа «пи» — да придумай какое хочешь себе «пи», кто мешает?

Особое место математики в ряду естественных наук — это просто особое место ее предмета. Математика изучает количественные и пространственные законы окружающего мира, абстрагируясь при этом от всех прочих его характеристик; любая наука абстрагируется от того, что для нее несущественно (более того, абстрагирование необходимо, чтобы количественные законы вообще могли проявиться — считать можно только однородные предметы, т. е. такие, между которыми нет качественных различий; в реальности же таких предметов не бывает). Естественно, для изучения количества и расположения рассматриваются «чистое» количество и «чистое» расположение, лишенное каких-либо материальных признаков. В реальности такого очевидно не бывает (в этом источник доброй половины иллюзий о роли математики), но рассматривая мир под таким углом, удается установить некоторые существенные его законы (например, 1+1=2, означающий, что если мы рассматриваем однородные предметы, между которыми нет качественных различий, то взяв один и один такой предмет, мы получим два таких предмета). Это самый что ни на есть закон природы (точнее системы «природа + наблюдатель»). Но природа — листочки там, травинки, зверьки, на худой конец камешки, ага :) — тут вроде бы отсутствует и обыденному сознанию (да и не только ему — и сами математики часто заблуждаются) эмпиричность не очевидна.
От Дмитрий Кропотов
К Михаил Едошин (27.01.2005 15:06:01)
Дата 27.01.2005 16:57:33

Математика не обязана "оглядываться"

Привет!

на реальный мир. А все остальные науки - обязаны.
Скажем, банаховы пространства и гиперкомплексные числа сначала были придуманы на кончике пера, а только потом начали делаться попытки найти им соответствие в реальном мире, которое вовсе не должно обязательно существовать.
Именно в этом смысл фразы об оторванности математики от реальности.

Никто не спорит, что первоначально математика вышла из требований практики. Но дальше она может от нее отрываться - и в самой математике нет никаких препятствий для этого (эти препятствия могут существовать как этика ученых, но самой наукой они не признаются).
А в естественных науках эти препятствия заложены в основополагающие принципы этих наук. В этом их отличие от математики, в которую эти принципы не заложены.

Дмитрий Кропотов, www.avn-chel.nm.ru
От Игорь С.
К Дмитрий Кропотов (27.01.2005 16:57:33)
Дата 28.01.2005 00:11:57

Обязана

>на реальный мир. А все остальные науки - обязаны.

Хотя и не так часто. Пункт актуальность решаемой задачи ни в диссертациях ни в статьях никто не отменял. Просто критерий актуальности более отдаленный, Михаил Едошин правильно пишет.

>Скажем, банаховы пространства и гиперкомплексные числа сначала были придуманы на кончике пера, а только потом начали делаться попытки найти им соответствие в реальном мире, которое вовсе не должно обязательно существовать.

И в чем отличия от того, что сначала нашли деление ядер урана а потом стали придумывать где его использовать? Это типичная ситуация. Отличия математики здесь количественные, а не качественные.

>Именно в этом смысл фразы об оторванности математики от реальности.

>Никто не спорит, что первоначально математика вышла из требований практики. Но дальше она может от нее отрываться - и в самой математике нет никаких препятствий для этого (эти препятствия могут существовать как этика ученых, но самой наукой они не признаются).

А "наука признает" и этика ученых - это одно и то же.

>А в естественных науках эти препятствия заложены в основополагающие принципы этих наук. В этом их отличие от математики, в которую эти принципы не заложены.

Заложены. Просто математике больше прощают. Во первых - затрат - только на бумагу. Это вам не синхрофазотрон содержать. Во вторых - много накалывались, когда сначала говорили "да зачем это надо", а потом оказывалось что очень даже полезно. Да и большинство слабо интересует, чем там математики занимаются. Для преподавания математики нужны. А на саму математику денег сейчас очень мало выделяют. Даже на прикладную.Что печалит.
От Дмитрий Кропотов
К Игорь С. (28.01.2005 00:11:57)
Дата 28.01.2005 08:31:29

Не согласен

Привет!

>>Скажем, банаховы пространства и гиперкомплексные числа сначала были придуманы на кончике пера, а только потом начали делаться попытки найти им соответствие в реальном мире, которое вовсе не должно обязательно существовать.
>
>И в чем отличия от того, что сначала нашли деление ядер урана а потом стали придумывать где его использовать? Это типичная ситуация. Отличия математики здесь количественные, а не качественные.
Тут вы "хитро" подменили тезис, продемонстрировав мою правоту. Речь же шла не о _применимости_ или _использовании_, а о _существовании_.
Т.е. естественные науки по самому своему определению оперируют _только_ тем, что _существует_ в реальности. И вопрос о _существовании_ объективной основы для любой теории, гипотезы, концепции для них является важнейшим и основным. Если на него ответ - отрицательный или даже нейтральный, тем самым соотв. концепция, теория, гипотеза отметается как не естественнонаучная.
В математике же допустим и нейтральный, и отрицательный ответ. И все гипотезы в ней равноценны - и те, для которых в разделе "актуальность" диссертации будет прочерк, и те, у которых прочерка не будет. Значение это имеет для ВАКа, но не для науки математики.
Вот в общем-то в чем дело.
Дмитрий Кропотов, www.avn-chel.nm.ru
От Игорь С.
К Дмитрий Кропотов (28.01.2005 08:31:29)
Дата 28.01.2005 11:44:26

Продолжим обсуждение?

может в новой ветке?
Или в рамках семинара, который я предлагаю? Вы могли бы на эту тему изложить в сжатом виде позицию Губина, раз её разделяете, я - свою.

Пока - констпективно.

>>И в чем отличия от того, что сначала нашли деление ядер урана а потом стали придумывать где его использовать? Это типичная ситуация. Отличия математики здесь количественные, а не качественные.

>Тут вы "хитро" подменили тезис, продемонстрировав мою правоту.

Не думаю.

>Речь же шла не о _применимости_ или _использовании_, а о _существовании_.

И у меня речь идет о существовании.

>Т.е. естественные науки по самому своему определению оперируют _только_ тем, что _существует_ в реальности.

Нет. Можем разобрать на примере истории наук: астрономии, физики, химии, биологии. По книгам Азимова. В каждый конкретный момент наука ( естественная) оперирует своими
категориями, которые в том или ином виде приближенно позволяют описывать процессы. Проще всего - с астрономией. Берем систему Птолемея - ну где в природе эпициклы и прочая дребедень?

>И вопрос о _существовании_ объективной основы для любой теории, гипотезы, концепции для них является важнейшим и основным.

Это - да. Но в математике - то же самое. Прежде чем изчать какой-либо математический объект по хорошему (правда, не всегда делают по хорошему,но это уже другой вопрос, слабость людскую игнорируем) необходимо показать что

1) множество изучаемых объектов не пусто.
2) что изучение объекта "в том или ином виде" имеет смысл.

>Если на него ответ - отрицательный или даже нейтральный, тем самым соотв. концепция, теория, гипотеза отметается как не естественнонаучная.

Не согласен. Давайте я в новой ветке проанализирую и покажу, что это не так.

>В математике же допустим и нейтральный, и отрицательный ответ. И все гипотезы в ней равноценны - и те, для которых в разделе "актуальность" диссертации будет прочерк, и те, у которых прочерка не будет. Значение это имеет для ВАКа, но не для науки математики.

Нет, Дмитрий.

>Вот в общем-то в чем дело.
>Дмитрий Кропотов, www.avn-chel.nm.ru

Давайте организуем ветку.
Для начала - могли бы вы подготовить две - три страницы аннотации обсуждения и забросить из в мою ветку ("про Ньтона")?
От Михаил Едошин
К Дмитрий Кропотов (27.01.2005 16:57:33)
Дата 27.01.2005 17:43:46

Математика не обязана другое

>Скажем, банаховы пространства и гиперкомплексные числа сначала были придуманы на кончике пера, а только потом начали делаться попытки найти им соответствие в реальном мире, которое вовсе не должно обязательно существовать.

Математика не обязана все время находить «нематематическое» применение своим открытиям. Но это не означает, что она что-то «придумывает на кончике пера». Она открывает законы мира. То, что их нельзя сразу использовать и даже иногда не совсем понятно, как их можно вообще использовать, означает только, что явления, количественная или пространственная сторона которых описывается этими законами, еще не попали в поле зрения других наук. Возможно, они туда и не попадут еще очень долго или даже вообще никогда — но это вовсе не означает, что открытый закон — фантазия.

Например, один товарищ рассмотрел мир «Властелина колец» с точки зрения геологии или как там правильно такая наука называется и заявил, что описываемый мир нереален, потому что если на планете один континент, он должен как бы «морщиться» в центре и в середине его должна быть высокая гора; но на (вроде бы единственном) континенте «Властелина колец» наоборот — глубокая нора :) словом, ничего подобного там не наблюдается. Так вот, утверждение о планете с единственным континентом описывает некоторый закон, открытый земной геологией, который верен, даже если мы еще очень долго не встретим планеты земного типа с единственным континентом, и даже если никогда такой не встретим.

Вы же не скажете, что геология «первоначально вышла из требований практики», но затем от нее оторвалась и напридумала разных теорий «на кончике пера»? И никто не требует от геологов «оглянуться на реальный мир» и предъявить такую планету для подтверждения? (Хотя тут на форуме могут найтись и такие оригиналы...)

>Никто не спорит, что первоначально математика вышла из требований практики. Но дальше она может от нее отрываться - и в самой математике нет никаких препятствий для этого (эти препятствия могут существовать как этика ученых, но самой наукой они не признаются).
>А в естественных науках эти препятствия заложены в основополагающие принципы этих наук. В этом их отличие от математики, в которую эти принципы не заложены.

Мне не нравится это рассуждение — какие принципы, кто их заложил? Почему в физику, надо понимать, заложили, а в математику — нет? Да и не отрывается математика от практики, просто у нее практика другая — количественные и пространственные соотношения. Все математические соображения проверяются этой практикой и никакое развитие математики не отменит уже открытых законов, хотя, несомнено, еще значительно уточнит их.
От Михаил Едошин
К Михаил Едошин (27.01.2005 15:06:01)
Дата 27.01.2005 15:17:57

Добавлю

> и обыденному сознанию ... эмпиричность не очевидна.

А на обыденное сознание нам нас..ть ;-)