От Иванов (А. Гуревич)
К chvvl
Дата 01.06.2006 06:12:04
Рубрики Ссылки; Тексты;

Так Вас в институт-то приняли или нет?

>Готовясь к поступлению винститут решал задачу, решил. Вижу есть другое решени но ответ отличается от первого. После выяснения наткнулся на следующее -
>1)1/sqrt(-1)=sqrt(-1)/(sqrt(-1)*sqrt(-1))=sqrt(-1)/(-1)= -sqrt(-1);
>2)1/sqrt(-1)=sqrt(1)/sqrt(-1)=sqrt(1/(-1))= sqrt(-1)

>Вывод: 1 = -1.
>Причина ошибки - использование правил предназначенных для работы с обычными числами для комплексных чисел.

Пример неудачный, поскольку первое равенство верное (зачем его вообще писать?), а второе - нет. Уж если хотите произвести эффект на школьников младших классов, то пишите так:

sqrt(-1)=sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)=-sqrt(-1)

Объяснение про специальные правила для комплексных чисел - правильное. Дело в том, что sqrt(-1) - это, по определению, число i, квадрат которого равен минус единице. И больше ничего. Каких-либо манипуляций с минус единицей под корнем (как во втором равенстве или в моем примере) делать нельзя, такие операции не определены.

Многозначность корня в данном случае роли не играет.
От Miguel
К Иванов (А. Гуревич) (01.06.2006 06:12:04)
Дата 01.06.2006 14:54:13

Говорит он: "Что за шутки?"

>>Готовясь к поступлению винститут решал задачу, решил. Вижу есть другое решени но ответ отличается от первого. После выяснения наткнулся на следующее -
>>1)1/sqrt(-1)=sqrt(-1)/(sqrt(-1)*sqrt(-1))=sqrt(-1)/(-1)= -sqrt(-1);
>>2)1/sqrt(-1)=sqrt(1)/sqrt(-1)=sqrt(1/(-1))= sqrt(-1)
>
>>Вывод: 1 = -1.
>>Причина ошибки - использование правил предназначенных для работы с обычными числами для комплексных чисел.
>
>Пример неудачный, поскольку первое равенство верное (зачем его вообще писать?), а второе - нет. Уж если хотите произвести эффект на школьников младших классов, то пишите так:

>sqrt(-1)=sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)=-sqrt(-1)

>Объяснение про специальные правила для комплексных чисел - правильное. Дело в том, что sqrt(-1) - это, по определению, число i, квадрат которого равен минус единице. И больше ничего. Каких-либо манипуляций с минус единицей под корнем (как во втором равенстве или в моем примере) делать нельзя, такие операции не определены.

>Многозначность корня в данном случае роли не играет.

Конечно, играет, да ещё и как. Вот в этом месте:

sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)

Здесь Вы применили цепочку "равенств"

sqrt[1]=sqrt[(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)

Если читать эту цепочку справа налево, то нетрудно заметить, что в первом равенстве цепочки Вы выбрали неправильную ветвь корня:

sqrt[ e^{\pi i} ] * sqrt [ e^{\pi i} ] = sqrt[ e^{\pi i} * e^{\pi i} ] = sqrt [ e^{2\pi i} ] = e^{\pi i} = -1 ,

где \pi - это "число пи", ^ - возведение в степень, sqrt - ветвь корня с разрезом [0,\infty), выбранная по формуле
sqrt [ r e^{i\theta} ] = sqrt[r] e^{i\theta / 2},
где в полярном представлении комплексного числа r>0, 0
От Иванов (А. Гуревич)
К Miguel (01.06.2006 14:54:13)
Дата 02.06.2006 11:24:33

Спасибо за поправку

Да, Вы правы. Но я имел в виду "упрощенный вариант" объяснения, когда

>>sqrt(-1) - это, по определению, число i, квадрат которого равен минус единице. И больше ничего.

Многозначностью я не пользовался, поскольку в цепочке равенств

>>sqrt(-1)=sqrt[(-1)(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1)= (-1)*sqrt(-1)=-sqrt(-1)

значения функций не вычислял.

Если же рассматривать комплексную плоскость и применять правила действия с комплексными числами, то следует отметить и другие недостатки моего (и Вашего) объяснения.

>Здесь Вы применили цепочку "равенств"
>sqrt[1]=sqrt[(-1)(-1)]= sqrt(-1)*sqrt(-1)
>Если читать эту цепочку справа налево, то нетрудно заметить, что в первом равенстве цепочки Вы выбрали неправильную ветвь корня:

В этой цепочке ошибки нет, слово "равенство" брать в кавычки не нужно, неправильную ветвь корня я не выбирал, поскольку его значение не вычислял. Здесь использованы лишь тождественные преобразования, действия, которые определены на множестве комплексных чисел.

В левой части равенства стоит фунция, принимающая значения +1 и -1; в правой части значения функции тоже равны +1 и -1. Множества значений этих функций совпадают и в этом смысле они равны.

Если искать первопричину "недоразумений", то для ее объяснения не нужно даже привлекать комплексные числа. Вот эта ошибка:

1=sqrt(1).

В левой части стоит число, в правой - функция, принимающая два значения (+1 и -1).
От chvvl
К Иванов (А. Гуревич) (01.06.2006 06:12:04)
Дата 01.06.2006 08:31:51

Re: Так Вас...

Да нет конечно с Вами разговаривает бездарь решившая почесать языком