на самом деле, как верно заметил (не понимая этого сам, к сожалению... он ничего не понимает, это цитирующий ИИ) Темник, полезно знать что сделано до тебя. Впервые очень близкий вопрос (это я осторожничаю для начетчиков, на самом деле это именно тот же самый вопрос) был рассмотрен в книге советских математиков Варшавского и Поспелова "Оркестр играет без дирижера".
А именно - система основанная на личном интересе (нет общей кассы) недоиспользует ресурс. Нерыночная система (с общей кассой) дает бОльший выход продукции с фиксированного размера руесурса.
Одновременно, такая система с общей кассой неустойчива, не экономическом, а в социальном смысле. То есть, всегда есть некоторая доля участников, которые могут заработать больше при отказе от общей кассы. За счет падения общей полной выработки системы, разумеется. И эта доля участников заинтересована в сносе системы с общей кассой.
Что в точности и произошло в СССР.
История начиналась в Арбатове
«И вот, наконец, ранней весной 1928 года почти все известные дети лейтенанта Шмидта собрались в московском трактире, у Сухаревой башни. Кворум был велик — у лейтенанта Шмидта оказалось тридцать сыновей в возрасте от восемнадцати до пятидесяти двух лет и четыре дочки, глупые, немолодые и некрасивые.
В краткой вступительной речи Балаганов выразил надежду, что братья найдут общий язык и выработают, наконец, конвенцию, необходимость которой диктует сама жизнь.
По проекту Балаганова весь Союз Республик следовало разбить на тридцать четыре эксплуатационных участка, по числу собравшихся. Каждый участок передается в долгосрочное пользование одного дитяти. Никто из членов корпорации не имеет права переходить границы и вторгаться на чужую Территорию с целью заработка.
Против новых принципов работы никто не возражал, если не считать Паниковского, который уже тогда заявил, что проживет и без конвенции. Зато при разделе страны разыгрались безобразные сцены. Высокие договаривающиеся стороны переругались в первую же минуту и уже не обращались друг к другу иначе как с добавлением бранных эпитетов.
Весь спор произошел из-за дележа участков.
Никто не хотел брать университетских центров. Никому не нужны были видавшие виды Москва, Ленинград и Харьков.
Очень плохой репутацией пользовались также далекие, погруженные в пески восточные области. Их обвиняли в невежестве и незнакомстве с личностью лейтенанта Шмидта.
— Нашли дураков!— визгливо кричал Паниковский.— Вы мне дайте Среднерусскую возвышенность, тогда я подпишу конвенцию.
— Как? Всю возвышенность? — заявил Балаганов.— А не дать ли тебе еще Мелитополь впридачу? Или Бобруйск?
При слове «Бобруйск» собрание болезненно застонало. Все соглашались ехать в Бобруйск хоть сейчас. Бобруйск считался прекрасным высококультурным местом.
— Ну, не всю возвышенность,— настаивал жадный Паниковский,—хотя бы половину. Я, наконец, семейный человек, у меня две семьи.
Но ему не дали и половины.
После долгих криков было решено делить участки по жребию. Были нарезаны тридцать четыре бумажки, и на каждую из них нанесено географическое название. Плодородный Курск и сомнительный Херсон, мало разработанный Минусинск и почти безнадежный Ашхабад, Киев, Петрозаводск и Чита — все республики, все области лежали в чьей-то заячьей шапке с наушниками и ждали хозяев.
Веселые возгласы, глухие стоны и ругательства сопровождали жеребьевку.
Злая звезда Паниковского оказала свое влияние на исход дела. Ему досталось Поволжье. Он присоединился к конвенции вне себя от злости.
—Я поеду,—кричал он,—но предупреждаю:
если плохо ко мне отнесутся, я конвенцию нарушу, я перейду границу!
Балаганов, которому достался золотой арбатовский участок, встревожился и тогда же заявил, что нарушения эксплуатационных норм не потерпит.
Так или иначе, дело было упорядочено, после чего тридцать сыновей и четыре дочери лейтенанта Шмидта выехали в свои районы на работу».
Каждый, читавший книгу «Золотой теленок» Ильфа и Петрова, помнит, что Паниковский все-таки нарушил конвенцию. Почему это произошло? И могло ли быть иначе? Может быть, Шура Балаганов напрасно работал всю зиму над созывом конференции, напрасно переписывался со знакомыми конкурентами и передавал незнакомым приглашения через внуков Маркса, может быть беда детей лейтенанта Шмидта заключалась в том, что Шура Балаганов не был знаком с теорией коллективного поведения?
Попытаемся формализовать ситуацию, которую мы будем интерпретировать, как игру К лиц. Участники игры алчны и эгоистичны — их поведение определяется только стремлением к личной наживе. Каждый участник в своем поведении обладает набором альтернатив, которые мы будем называть стратегиями — он может произвольно выбрать себе участок, на котором будет промышлять в качестве сына лейтенанта Шмидта. Число альтернатив (стратегий, участков) может быть больше числа участников игры (детей лейтенанта Шмидта). Как мы уже видели, в приведенном отрывке из «Золотого теленка» участки неравноценны. Каждый участок характеризуется некоторым числом, которое мы будем называть мощностью этой стратегии. В первой, простейшей модели мы будем предполагать, что мощность стратегии, т. е. доход, который может быть извлечем из участка в течение некоторого, заранее фиксированного времени, не зависит от числа промышляющих на нем детей лейтенанта Шмидта и делится между ними поровну.
Что означает указанное предположение? Оно означает, что если, например, один сын лейтенанта Шмидта за месяц может извлечь из участка 100 рублей, то двое детей извлекут из этого участка по 50 рублей каждый.
Вообще говоря, такое предположение не всегда оправдано — более естественно предположение о том, что общий доход с эксплуатируемого участка возрастает с ростом числа участников эксплуатации, однако, доля, приходящаяся на каждого, уменьшается с ростом числа участников. Например, когда вы собираете в лесу грибы, то для вас очевидно, что чем больше пароду будет в облюбованном вами месте, тем меньше грибов вы принесете домой. С другой стороны, общее число грибов, которое будет собрано, безусловно превысит то количество, которое вы могли бы собрать в одиночку.
В некоторых случаях достигаемый эффект зависит от числа участников более сложным образом. На-пример, при охоте на лося или кабана размер охотничьего трофея, приходящийся на одного охотника, с ростом числа людей участвующих в охоте, сначала
растет — очень велика вероятность того, что в одиночку вы вообще ничего не добудете,— и лишь затем начинает резко падать. Начнем, однако, для простоты с первого предположения.
Рассмотрим пример. Пусть имеется 10 игроков и число стратегий (участков) достаточно велико, т. е. превышает число игроков. Пусть мощность первого участка 100 руб. в месяц, а всех остальных участков—по 40 руб. в месяц. Допустим, что двое самых проворных игроков захватят первый участок и будут получать по 50 руб. в месяц, тогда как остальные восемь, распределившись по одному на остальных участках, будут получать по 40 руб. в месяц. В этой ситуации никому невыгодно менять свой участок. Действительно. Мы отбрасываем, как совершенно неразумное, желание прийти вторым на участок с доходом в 40 руб., так как имеется достаточно свободных участков такой мощности. Перейти с участка с доходом в 40 руб. на участок с доходом в 100 руб. также невыгодно, так как там уже есть два человека и, совершив такой переход, игрок снижает свой доход с 40 руб. до 33'/з рубля. Переход с участка с доходом в 100 руб., где участник получает 50 руб., на участок с доходом в 40 руб., также невыгоден. Таким образом, в нашем примере, когда на «богатом» участке функционируют два человека, а остальные участники игры расположены по одному на более «бедных» участках, возникает устойчивая ситуация — никому из участников игры невыгодно в одиночку изменять участок.
Такая ситуация, в которой ни одному из участников игры невыгодно одному изменять свою стратегию, в теории игр называется ситуацией равновесия по Нэшу. Для обозначения ситуации равновесия по Нэшу мы будем использовать термин — точка Нэша.
Здесь уместно заметить, что с точки зрения внешнего наблюдателя абсолютно безразлично, какие два игрока захватят богатый участок (хотя, как нетрудно понять, это совсем не безразлично для самих участников). Все ситуации, в которых два человека разрабатывают богатый участок, а остальные по одному распределились на более бедных, являются точками Нэша. Точек Наша в игре может быть мно-го. Действительно, пусть в нашем примере имеются один богатый и двенадцать бедных участков. Тогда существует 45 различных пар участников, которые могут захватить богатый участок, 495 различных способов выбора восьми бедных участков и 40320 способов, которыми восемь участников могут распределиться по этим участкам. Если все эти числа перемножить, то получится число эквивалентных точек Нэша в данной игре, равное 898 128 000. Все они характеризуются одним и тем же суммарным доходом и одним и тем же средним доходом, приходящимся на одного участника. Последнее число будем называть ценой точки (или партии) Нэша.
Обратим внимание на следующее обстоятельство: хотя никому из участников невыгодно в одиночку изменять свою стратегию, доход, получаемый всеми участниками, и цена партии не являются максимально возможными в этой игре, т. е. их можно увеличить. В точке Нэша. суммарный доход равен 100 руб. + 8*40 руб.= 420 руб. и цена партии Нэша равна 42 руб. Если же на самом богатом участке разрешить находиться только одному участнику, то доход всех участников возрастет на 40 руб. и средний доход каждого участника возрастет до 46 руб. в месяц. Теперь обратим внимание на возникающие здесь возможности. В точке Нэша двое участников получают по 50 руб., а остальные по 40 руб. Однако если бы игроки могли договориться, то у двоих доход уменьшился бы на 4 руб. в месяц, зато у восьмерых он возрос бы на 6 руб. в месяц у каждого. Именно в этом месте необходима конвенция.
Но мы уже видели, что способ, предложенный Балагановым — случайным образом распределить детей лейтенанта Шмидта по участкам, не гарантирует устойчивости, а устойчивое распределение приводит к потерям. Какие же существуют возможности договориться?
Ограничимся вначале двумя участниками — Балагановым и Паниковским. Балаганову достался участок с доходом 100 руб. в месяц, а Паниковскому — с доходом 40 руб. в месяц. В случае нарушения Паниковским конвенции и его появления в Арбатове доход Балаганова уменьшается до 50 руб. и до той же суммы возрастает доход Паниковского, и нет такой силы, которая могла бы удержать Паниковского в Поволжье. Ситуация, в которой и Паниковский и Балаганов занимаются попрошайничеством и вымогательством в Арбатове, устойчива — ни одному из них невыгодно перебраться в Поволжье. А между тем, договорившись, они могут существенно повысить свой доход, а путей договориться по меньшей мере три. Во-первых, Балаганов может платить Паниковскому 10 руб. отступного (получая тогда 90 руб), чтобы Паниковский продолжал грабить доверчивых администраторов и общественников Поволжья. Однако наглый и вздорный Паниковский вряд ли, даже зная, что без договоренности ему больше не получить, ограничится такой суммой. Во-вторых, Балаганов и Паниковский могут договориться и периодически меняться участками, что принесет им в среднем по 70 руб. в месяц. Однако естественное недоверие Балаганова к Паниковскому делают мало пригодным и этот способ. В-третьих, Паниковский и Балаганов могли бы просто делить все получаемые деньги поровну — такой способ мы будем называть общей кассой. Общая касса, равно как и предыдущий способ, требует определенного уровня доверия участников друг к другу. Кроме того, организация общей кассы может сама по себе потребовать дополнительных расходов; однако, как бы обременительны они не были, нетрудно видеть, что в случае игры с общей кассой ситуация с максимальным суммарным выигрышем устойчива по Нэшу. Все сказанное, естественно, распространяется и на случай с любым числом участников.
Таким образом, мы рассмотрели условия некой игры, которую далее будем называть игрой в размещения, и на примере рассмотрели возникающие в ней устойчивые ситуации. Обстоятельства, моделируемые этой игрой, могут быть весьма разнообразными. Нас же в этой задаче будет интересовать зависимость дохода участников игры от их поведения, т. е. от смены стратегии в зависимости от величины текущего дохода.
Для изучения зависимости доходов участников игры от их поведения необходимо формализовать это поведение, т. е. построить модель игрока. Что мы будем понимать под моделью?
Понятие модели достаточно широко и неопределенно. Моделью Паниковского, выбрасываемого из кабинета арбатовского предисполкома, может служить мешок с опилками, модель же Паниковского, принимающего решение нарушить конвенцию, требует более развитых изобразительных средств.
Как мы уже говорили выше, наши игроки стремятся лишь к личному обогащению. Единственным критерием, определяющим для них предпочтительность той или иной стратегии, является доход, и, следовательно, модель такого игрока должна быть моделью устройства, оптимизирующего свой выигрыш на дискретном множестве действий. Здесь уместно вспомнить об автоматах, обладающих целесообразным поведением в случайных средах. Подобные автоматы как раз и являются устройствами, выбирающими свои действия так, чтобы увеличивать свой выигрыш. Но для того чтобы ввести в нашу игру такие автоматы, мы должны несколько изменить условия самой игры.
Действительно, наши игроки получают в зависимости от выбранной стратегии тот или иной доход (или убыток), а автоматы получают на выбранной стратегии всегда одинаковый выигрыш или проигрыш, но с различными вероятностями. Подобное изменение правил игры не связано с принципиальными затруднениями, а в случае с детьми лейтенанта Шмидта быть может даже более желательно — нахальные отпрыски легендарного героя просят всегда по максимуму, но в зависимости от эксплуатируемого участка их просьбы удовлетворяются с различной вероятностью. Бывают случаи, когда результатом являются потери, причем не только моральные, но и материальные.
Мощность стратегии будет характеризовать средний выигрыш на этой стратегии при фиксированном значении единичной платы (выигрыша или проигрыша). Так, например, если в 75 % случаев на данной стратегии игрок получает 200 руб., а в 25 % случаев он выплачивает ту же сумму, то его средний выигрыш на этой стратегии равен 100 руб. Средний выигрыш, равный 40 руб., обеспечивается 60 % выигрыша и 40 % проигрыша тех же 200 руб.
Нетрудно понять, что для каждой игры, заданной мощностями стратегий в абсолютных выигрышах и проигрышах, можно построить эквивалентную игру, где выигрыши и проигрыши имеют фиксированное значение, но каждый раз определяются с вероятностью, зависящей от выбранной стратегии. Таким образом, мы далее будем рассматривать игры со случайными единичными выигрышами и проигрышами, в которых в качестве игроков выступают автоматы, обладающие целесообразным поведением в случайных средах. Тем самым, вместо исходной ситуации мы имеем ее формальную модель, в которой можно изменять параметры: характеристики стратегий и характеристики игроков, и в зависимости от значений указанных параметров изучать протекание игры. Игра состоит в последовательном разыгрывании партий.
При описании автоматов, обладающих целесообразным поведением в случайных средах, мы ввели их характеристику—глубину памяти. Глубина памяти автомата характеризует, с одной стороны, его конструктивную сложность, а с другой, его способность к усреднению. Она проявляется в длительности времени, за которое автомат способен учитывать свои выигрыши и проигрыши. Мы можем считать, что в нашей модели глубина памяти автоматов есть некоторая характеристика способностей игроков к оценке текущей обстановки, так сказать, их интеллектуального уровня.
Как же зависят результаты игры от интеллектуальных возможностей участвующих в ней игроков? Здесь уместно еще раз заметить, что понятие интеллектуального уровня весьма условно и относится только к способности усреднять свои выигрыши и проигрыши. Игроки располагают примитивной информацией об игре. Они не знают ни числа остальных участников игры, ни сложившейся в игре ситуации, ни даже того, в какую игру они играют. Ничего, кроме собственных выигрышей и проигрышей, на основании которых игроки (автоматы) выбирают свои стратегии. Но именно этот примитивизм позволяет изучать возникающие в игре эффекты в чистом виде.
Поскольку для внешнего наблюдателя все игроки одинаковы, а при случайных выигрышах и проигрышах автоматы, вообще говоря будут некоторым случайным образом блуждать по стратегиям, то мы будем характеризовать результаты игры математическим ожиданием среднего выигрыша автомата в игре, что эквивалентно математическому ожиданию суммарного выигрыша всех автоматов в игре.
Анализ поведения целесообразных автоматов в этой игре показывает, что с ростом глубины памяти, т. е. с ростом целесообразности поведения такого автомата в стационарной случайной среде, растет целесообразность его поведения в игре. Последнее означает, что с ростом глубины памяти растет и средний выигрыш автоматов в игре, стремясь к цене партии Нэша так, как показано на рис. 3.1.
Как мы уже говорили, средний выигрыш в партии Нэша отличен от максимально возможного в игре. Мы также видели, что введение процедуры общей кассы делает партию максимальной цены устойчивой по Нэшу. Устойчивая по Нэшу партия максимальной цены называется точкой Мора или партией Мора.
