От Дм. Ниткин
К Игорь С.
Дата 27.07.2010 10:29:21
Рубрики Прочее; Крах СССР; Образы будущего; Ссылки;

Re: А что...

>>У любой науки есть свой предмет. Что изучает математика?
>
>Количественные закономерности. Пространственные формы.

Количественные закономерности ЧЕГО? Пространственные формы ЧЕГО? Наука всегда предметна. А математика в принципе всегда имеет дело с идеальными объектами, существующими только в мозгах математиков. Но мозги математиков также не являются предметом математики :)

Кстати, высшая математика (в отличие от арифметики) количественные объекты практически не изучает. И с пространственными формами тоже, за пределами геометрии, практически не работает.

>>У любой науки критерием истины является практика. В чем критерий истины у математики?

>Соответствие практике, естественно.

И как именно та или иная теорема проверяется на соответствие практике? Теорема Пифагора, например?
От Игорь С.
К Дм. Ниткин (27.07.2010 10:29:21)
Дата 27.07.2010 21:34:41

Re: А что...

>>>У любой науки есть свой предмет. Что изучает математика?
>>
>>Количественные закономерности. Пространственные формы.

>Количественные закономерности ЧЕГО? Пространственные формы ЧЕГО?

Но Вы же не задаете вопрос химию ЧЕГО изучает химия. Так и математика изучает количественные закономерности как часть объенктивной, не зависящей от субъекта реальности. 2+2 = 4. Всегда. В Африке, в Руанде, в США, на Луне. Длина окружности - равна пи, которое иррационально. Выбросьте свое ЧЕГО и проблемы исчезнут.

> Наука всегда предметна. А математика в принципе всегда имеет дело с идеальными объектами, существующими только в мозгах математиков.

С каких это пор числа присутствуют только в мозгах математиков? С тем же успехом можно писать, что электроны присутствуют только в мозгах физиков а законы экономики только в головах экономистов. "Мозгов математиков" не существуют, мозг свой у каждого человека. И то, что у всех 2+2 = 4 доказывает, что математика является наукой более, чем что либо еще. Она наиболее проверяема, она наиболее продвинута по логическому построению.


>Кстати, высшая математика (в отличие от арифметики) количественные объекты практически не изучает.

Это как? Дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных - это для вас не количественные объекты? Поведение оболочки под действием упругих сил, получаемое в уравнениях матфизики - это не пространственные формы?

> И с пространственными формами тоже, за пределами геометрии, практически не работает.

Она только этим и занимается.

>>>У любой науки критерием истины является практика. В чем критерий истины у математики?
>
>>Соответствие практике, естественно.
>
>И как именно та или иная теорема проверяется на соответствие практике? Теорема Пифагора, например?

Если Вы найдете хоть один треугольник, который в пределах измерений будет отличаться от результатов теоремы Пифагора при выполнении аксиоматики, то теорема Пифагора будет неверной. Но найти Вы не сможете. Т.е. используется абсолютно тот же алгоритм проверки, что и в любой другой науке. Только более строгий.

А вот менее очевидные случаи, когда прямая проверка в лоб использовалась как опровержение доказательства, да, были.

Вообще-то проверка "на пальцах" присутствует в математике всегда.

Все выше написанное является моим мнением
От Дм. Ниткин
К Игорь С. (27.07.2010 21:34:41)
Дата 27.07.2010 23:47:58

Re: А что...

>>Количественные закономерности ЧЕГО? Пространственные формы ЧЕГО?
>
>Но Вы же не задаете вопрос химию ЧЕГО изучает химия.

Химия, насколько я понимаю, изучает природные и искуственные вещества, а также специфические взаимодействия между ними, называемые химическими реакциями. То есть, химия изучает реальный мир, используя для изучения специфические модели реальности - например, теорию атомного строения вещества.

>Так и математика изучает количественные закономерности как часть объективной, не зависящей от субъекта реальности. 2+2 = 4. Всегда.

Ну, скажем, в троичной системе исчисления не равно. Но это, я понимаю, всего лишь способ записи. Далее, аддитивность не универсальна. Сопротивление параллельной сети из двух резисторов не равно сумме сопротивлений резисторов :)

Длина окружности - равна пи, которое иррационально.

Окружность - это такая абстракция. Реально существуют круглые объекты, то есть такие объекты, обвод которых с некоторой степенью точности моделируется окружностью. Что характерно, речь идет об объектах в эвклидовом пространстве (еще одна абстракция). Чему равна длина окружности в пространстве Лобачевского, я не знаю, но подозреваю, что можно смоделировать пространство так, что от пи мало что останется.

>Выбросьте свое ЧЕГО и проблемы исчезнут.

Да нет их, проблем. Есть очень специфическая отрасль научного инструментария, которая не вполне укладывается в классическое определение научной теории. Только и всего.

>> Наука всегда предметна. А математика в принципе всегда имеет дело с идеальными объектами, существующими только в мозгах математиков.
>
>С каких это пор числа присутствуют только в мозгах математиков?

С тех пор, как люди научились мыслить не конкретными объектами, а абстрактными числами. Утверждающий, что два раза по два банана - это четыре банана, тот еще не математик. А вот провозглашающий, что 2*2=4 - уже математик.

>С тем же успехом можно писать, что электроны присутствуют только в мозгах физиков

То есть, Вы уверены, что это не так? А мне казалось, что электрон - это просто абстрактная модель реальности, позволяющая создать непротиворечивое описание атома. Какова же при этом реальность? Сегодня электроны - это уже не шарики, которые крутятся вокруг атомного ядра, как планеты вокруг звезды - а ведь так их понимали всего лишь лет сто назад? И кто знает, как их будут понимать завтра?

>а законы экономики только в головах экономистов.

Ну, тут и спорить не о чем. Ни одна экономика не ведет себя в полном соответствии с экономическими законами. Воля людей, знаете ли, накладывает неизгладимый отпечаток, а ее экономисты не изучают, или почти не изучают.

"Мозгов математиков" не существуют, мозг свой у каждого человека. И то, что у всех 2+2 = 4 доказывает, что математика является наукой более, чем что либо еще.

Уверяю Вас, в мире существует несколько сот миллионов людей, для которых сказанное Вами - непостижимая абстракция. Нет, что два раза по два доллара - это четыре доллара, это они чаще всего понимают. Но возможна и ситуация, когда весь счет ограничивается словами "один", "два", "три", "много", "очень много".

>Она наиболее проверяема, она наиболее продвинута по логическому построению.

Математические выводы зависят от выбора аксиоматики. А аксиоматику можно выбирать по-разному.

>>И как именно та или иная теорема проверяется на соответствие практике? Теорема Пифагора, например?
>
>Если Вы найдете хоть один треугольник, который в пределах измерений будет отличаться от результатов теоремы Пифагора при выполнении аксиоматики, то теорема Пифагора будет неверной.

Да пожалуйста. Нулевая точка на экваторе, Северный полюс, точка с координатами 0 градусов широты и 90 градусов долготы. Нарисованный на поверхности Земли треугольник будет прямоугольным - аж с тремя прямыми углами. И одновременно равносторонним. А геометрия, напомню, это изначально именно наука об измерении разных участков на поверхности Земли. Круглой Земли, как выяснилось впоследствии. Так что применительно к своему предмету Пифагор был неправ изначально :)

Если более серьезно. Пифагор в качестве модели поверхности земли принял плоскость, что позволило разработать теорию измерений земельных участков с приемлемой степенью точности. Для больших земельных участков эта модель неверна.

Насколько я знаю, евклидово трехмерное пространство не является адекватной моделью Вселенной. Значит ли это, что эвклидова геометрия неверна? И если нет, то в чем же критерий истинности данной математической теории?
От Игорь С.
К Дм. Ниткин (27.07.2010 23:47:58)
Дата 28.07.2010 22:36:33

Re: А что...

>>>Количественные закономерности ЧЕГО? Пространственные формы ЧЕГО?
>>
>>Но Вы же не задаете вопрос химию ЧЕГО изучает химия.

>Химия, насколько я понимаю, изучает природные и искуственные вещества, а также специфические взаимодействия между ними, называемые химическими реакциями. То есть, химия изучает реальный мир, используя для изучения специфические модели реальности - например, теорию атомного строения вещества.

Отлично. Математика изучает специфические взаимоотношения между элементами реальности, называемые "количественные отношения". И сттроит для этого специальные научные модели: теорию пределов,интегральное и дифференциальное исчисления, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, теорию уравнений в частных производных.
Особоенность математики является универсальность этих математических моделей, когда одно и то же уравнение может использоваться для реальности самой различной природы.

>>Так и математика изучает количественные закономерности как часть объективной, не зависящей от субъекта реальности. 2+2 = 4. Всегда.

>Ну, скажем, в троичной системе исчисления не равно. Но это, я понимаю, всего лишь способ записи. Далее, аддитивность не универсальна. Сопротивление параллельной сети из двух резисторов не равно сумме сопротивлений резисторов :)

А это уже типичная ошибка неправильного применения математики.

Структура её утверждений всегда начинается с "если". ЕСЛИ выполняются условия ТО утверждение. Например, если выполняются аксиомы целых чисел, то 2+2 = 4. Независимо от формы записи. Т.е. форма записи числа 4 может измениться, но если записывать 2 и 4 в одной системе счисления, то для целых чисел 2+2 всегда 4. В США, в Сомали, для Иванова, для Смита, для Бхванга.

>Длина окружности - равна пи, которое иррационально.

>Окружность - это такая абстракция. Реально существуют круглые объекты, то есть такие объекты, обвод которых с некоторой степенью точности моделируется окружностью.

Совершенно верно. Но физика и химия - это тоже абстракция. Материальных точек не существует. Абосолютно правильных шаров - тоже. И любой язык, кстати - абстракция.
Вообще способ познания, как Вы приекрасно помните - Конкретное - Абстрактное - Конктретное. Математика идет абсолютно по тому же пути.

>Что характерно, речь идет об объектах в эвклидовом пространстве (еще одна абстракция). Чему равна длина окружности в пространстве Лобачевского, я не знаю, но подозреваю, что можно смоделировать пространство так, что от пи мало что останется.

Да, конечно, поэтому математика никогда не говорит об "обкружности вообще".

>>Выбросьте свое ЧЕГО и проблемы исчезнут.

>Да нет их, проблем. Есть очень специфическая отрасль научного инструментария, которая не вполне укладывается в классическое определение научной теории. Только и всего.

Это проблемы "классического определения". Я предлагаю его просто выбросить. Поверьте, это проще, чем выбрасывать математику из науки. Чье определение Вы берете, кстати? В марксистскую концепцию познания математика входит без вопросов.

>>> Наука всегда предметна. А математика в принципе всегда имеет дело с идеальными объектами, существующими только в мозгах математиков.
>>
>>С каких это пор числа присутствуют только в мозгах математиков?

>С тех пор, как люди научились мыслить не конкретными объектами, а абстрактными числами. Утверждающий, что два раза по два банана - это четыре банана, тот еще не математик. А вот провозглашающий, что 2*2=4 - уже математик.

Но два, даже "два банана" - это уже абстракция. И порядковые числительные - уже абстракция. И любое слово - абстракция. Да и числа присутствуют в головах всех людей, познакомившихся с арифметикой.

>>С тем же успехом можно писать, что электроны присутствуют только в мозгах физиков

>То есть, Вы уверены, что это не так? А мне казалось, что электрон - это просто абстрактная модель реальности, позволяющая создать непротиворечивое описание атома. Какова же при этом реальность? Сегодня электроны - это уже не шарики, которые крутятся вокруг атомного ядра, как планеты вокруг звезды - а ведь так их понимали всего лишь лет сто назад? И кто знает, как их будут понимать завтра?

И чем в этом смысле экономическая модель равновесия Вальраса отличается? Или ВЫ её вычеркиваете из экономики? Любое понятие существует в развитии. И время мы понимаем сейчас не так, как давным давно, и пространство. Да практически любой термин.

Развитие, субъективная диалектика.

>>а законы экономики только в головах экономистов.

>Ну, тут и спорить не о чем. Ни одна экономика не ведет себя в полном соответствии с экономическими законами. Воля людей, знаете ли, накладывает неизгладимый отпечаток, а ее экономисты не изучают, или почти не изучают.

Но это же не повод не считать экономику наукой, правда? Или...

> "Мозгов математиков" не существуют, мозг свой у каждого человека. И то, что у всех 2+2 = 4 доказывает, что математика является наукой более, чем что либо еще.

>Уверяю Вас, в мире существует несколько сот миллионов людей, для которых сказанное Вами - непостижимая абстракция. Нет, что два раза по два доллара - это четыре доллара, это они чаще всего понимают. Но возможна и ситуация, когда весь счет ограничивается словами "один", "два", "три", "много", "очень много".

Я это прикрасно знаю по нашему форуму, причем даже некоторым докторам наук. Но, во первых, очень многие понимают. Во вторых, если брать какую-нибудь химию, там понимают еще меньше, а поводов для несогласия гораздо больше.

>>Она наиболее проверяема, она наиболее продвинута по логическому построению.
>
>Математические выводы зависят от выбора аксиоматики. А аксиоматику можно выбирать по-разному.

Ну, здесь есть некоторое заблуждение. Да, существует некоторая свобода в выборе аксиом. Но, поверьте, она очень не большая и находится достаточно далеко. Эта свобода затрагивает буквально считанные единицы людей. Во-вторых, и это главное, математика как пишет "если мы принимаем аксиомы а, б, в, то верно следующее".

И это опять же абсолютно одинаково (для всех, понимающих, о чем идет речь). Т.е. даже возможность выбора аксиом не меняет объективности математики. Вообще надо помнить, что аксиома - это такое научное утверждение и оно обосновывается точо так же, как и любое другое научное утверждение (только в другом месте). Её нельзя взять совсем "произвольно".

>>>И как именно та или иная теорема проверяется на соответствие практике? Теорема Пифагора, например?
>>
>>Если Вы найдете хоть один треугольник, который в пределах измерений будет отличаться от результатов теоремы Пифагора при выполнении аксиоматики, то теорема Пифагора будет неверной.

>Да пожалуйста. Нулевая точка на экваторе, Северный полюс, точка с координатами 0 градусов широты и 90 градусов долготы. Нарисованный на поверхности Земли треугольник будет прямоугольным - аж с тремя прямыми углами. И одновременно равносторонним.

Но для этого треугольника выполняются аксиомы сферической геометрии, а не плоской. Прочитайте внимательно: Вы должны найти треугольник, для которого выполняются аксиомы эвклидовой геометрии на плоскости. И если Вы для него гипотетически измерите соотношение между сторонами, для которого соотношение между сторонами выйдет за пределы измерений, то...

>А геометрия, напомню, это изначально именно наука об измерении разных участков на поверхности Земли. Круглой Земли, как выяснилось впоследствии. Так что применительно к своему предмету Пифагор был неправ изначально :)

Дмитрий, Вы забываете, что отличие реальных участков от плоскости намного больше сферических поправок. :-)

Ладно, давайте я Вас еще более страшную вещь скажу: пиетет перед практическими измерениями во многом обусловлен большими погрешностями измерений. Сейчас часто встречается, что если результаты эксперимента противоречаь теории, то он идет в мусорку. Ибо теория - это сотни и тысячи уже обработанных экспериментов, тщательно проверенных. А каждый экперимент - это экспериментальные ошибки.

>Если более серьезно. Пифагор в качестве модели поверхности земли принял плоскость, что позволило разработать теорию измерений земельных участков с приемлемой степенью точности. Для больших земельных участков эта модель неверна.

Конечно. Но математики никогда не ограничивали себя в моделях.

>Насколько я знаю, евклидово трехмерное пространство не является адекватной моделью Вселенной. Значит ли это, что эвклидова геометрия неверна?

Нет, не значит.

>И если нет, то в чем же критерий истинности данной математической теории?

Я уже написал про if-then. Надеюсь, этого достаточно. Если нет, то готов еще пояснить.

Вообще это абсолютно общий принцип. Любые измерения делаются некоторыми инструментами в предположении некоторых моделей.

И яхотел еще одно подчеркнуть - важно, что практические вычисления(измерения) можно использовать в качестве критерия истины. Т.е. если кто-то написал формулу для решения уравнения в некоторых предположения, а Вы нашли число, для которого предположения выполняются, а подстановка дает результат отличный от нуля, то в теореме ( формуле) - ошибка.

Естественно, это не самый удобный критерий для математики. Но ведь то же самое и для других наук. Практика (включающая в себя проверенную часть теории, кстати) всей человеческой деятелльности является критерием истины в конечном счете.

Последние два слова часто забывают. :-)
Все выше написанное является моим мнением
От Игорь С.
К Дм. Ниткин (27.07.2010 23:47:58)
Дата 28.07.2010 08:13:28

Наука едина, существуют разные методы исследования

Я по-позже отвечу подробно, сейчас только напишу, что наука по сути едина. Как и разбиение её на отдельные химии-физики и прочее. Существуют разные методы научного исследования: физические, химические, математические, экономические. Если эти методы можно относительно обособить, то можно условно говорить о выделении "науки". Главное - не забывать, что это выделение относительно.

Все выше написанное является моим мнением