>Надо понимать, что термин ильхан стал историографическим понятием. Ну как понятия "Киевская Русь", или "Вел. княжество Литовское", или "Византия". Ну удобен он для маркировки существовавшей тогда реальности, которая отличалась от привычных европейских понятий в области государственности, титулатуры или династийных законов. Поэтому в отношении монгольского государства Хулагуидов (более корректоное название) и применят термины "ильханат" и "ильхан" (к его главе).
Просто собрались крутые хлопцы, решили воевать новые земли, выбрали чингизида достойного, дали ему опытных помощников, пошли они и справились с задачей. Получается присоединили новые земли, отправили гонца к Великому хану, он и порешил - быть вам на новых землях наместником от моего имени, то бишь ильханом:-)))) Вот и получается, что ильханом он стал в 1261, когда сформировал эти новые земли, а Багдад брал еще будучи чингизидом. А то, что он сверг аббасидов и убил последнего из них - так тоже факт имел место быть.
Событие однозначно значимое со всех точек зрения и, как мне кажется, достойно более подробного вашего описания, а то, как у классика: "А вы говорите, что в учебнике только две строчки".