От Владимир(Н-ск)
К Ольга
Дата 25.10.2001 11:46:14
Рубрики Россия-СССР; Крах СССР; Модернизация; Теоремы, доктрины;

Все вопросы в математике детские - было Re: Детский вопрос о параллельных прямых

>Приветствую вас, Владимир!
>Прошу прощения за невежество, но разве не существует теоремы о параллельных прямых? Почему-то у вас эта идея фигурирует как аксиома...

У Евклида это утверждение присутствует как ПОСТУЛАТ.

Может быть в каком-то из учебников это и доказывается как теорема. Ничего страшного в этом нет. Но тогда с необходимостью следует, что для этого используется ОТЛИЧНЫЙ от оригинального (от Евклида) набор аксиом...

Т.е. скажем, дано:
1. для построения некоторой геометрии выбраны некоторые утверждения А, В, С (назваем их "очевидными" утверждениями, или аксиомами) и из них выводится некоторое утверждение D(теорема)...

2. Из утвержденией, B, C, D можно вывести утверждение A.

Отсюда следует вывод, что можно "назначить" аксиомами утверждения B, C и D.

Наборы утверждений (ABC) и (BCD) - эквивалентны....

Аксиома - это то, что не доказывается. Строго говоря.

То есть есть просто утверждения... Для доказательства любого утверждения(установления ее истинности) обязательно используются некоторые другие утверждения(и обязательно истинные)... ну, или не несколько... но, по крайней мере одно _истинное_ утверждение.

Но отсюда следует, что существуют утверждения, которые являются "истинными без доказательства"... (мы идем от одного к другому утверждению и выбираем("перебираем") все утверждения некоторой теории до "нуля"..)

Задаваете вопросы, если они остались, потому как я достаточно схематично рассказываю...
От Almar
К Владимир(Н-ск) (25.10.2001 11:46:14)
Дата 26.10.2001 11:21:59

Re: так все-таки это определение

Воспользуюсь тем, что любезно предоставил And

===========
Сочинение Евклида открывается перечнем определений. Приведем некоторые из них, сохранив нумерацию, принятую в оригинале.
"Определения.
…….
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолженным
ми в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с
другой стороны между собой не встречаются.
============

Итак, как я и предполагал то, что параллельные прямые не пересекаются - это определение или аксиома.

В связи с этим могу поделиться некоторыми субъективными мыслями. Я ведь так же как и вы вовсе не читал Евклида и практически забыл изложение школьного курса геометрии. Кстати, возможно, тамошние сведенья о парал. прямых отличаются от евклидовских. Но отличаться они могут лишь нюансами. суть же должна оставаться той же. Я был в этом уверен, когда спорил с вами, не по самонадеянности, а потому, что достаточно хорошо (в силу специфики образования) разбираюсь в философских основаниях логики. Поэтому для меня наличие геометрии Лобачевского никогда не станет основанием сомневаться, что черное не может быть белым, а параллельные прямые не пересекаются в том реальном мире, который человек в состоянии познавать. В виртуальных мирах научного моделирования параллельные прямы могут пересекаться сколько угодно, но…

Вот отрывок из одно научной работы, посвященной рассмотрению философских взглядов русского неокантианца И.И.Лапшина (1870 — 1952)

«Если условно говорить о мышлении некоего типичного нормального человека, то случаи с детьми, дикарями, психическими расстройствами и сновидениями являются отклонениями от нормы, так сказать, по лестнице интеллектуального развития вниз. Однако есть и другой путь отклонений, так сказать, вверх. Как ни странно, этот путь связан, прежде всего, с успехами научного познания и обусловлен чрезвычайной сложностью и высоким уровнем абстракции современной науки. Лапшин прекрасно знал, что определенные мыслители рассматривают, например, математический символизм как дверь в область метафизически трансцендентного. Лапшин анализирует психологический принцип злоупотреблений математическим символизмом (смешение непосредственной представимости с метафорическим значением) — привыкание к употреблению знаков так, что они, по замечанию Лассвица, заменяют в сознании реальные вещи. Лапшин подробно рассматривает аргументы в пользу мыслимости четырехмерного пространства и находит их несостоятельными. Не отрицая несомненную пользу различного рода умозрительных конструкций (например, математики комплексных чисел, неевклидовой геометрии и т.п.) и осуждая тех, кто боится подобного символизма, Лапшин в тоже время отмечает, что "все алгебраические фикции подобны лесам, которые возводятся около здания при постройке и немедленно убираются прочь по окончанию работы. Это совершенно упускают из виду метафизики, …для которых этот символизм представляется чем-то чудесным". Критическая теория, по мнению Лапшина, не стоит и не должна стоять на месте. Так, отмечает он, "современный критицизм еще более расширил и углубил понятие о пространстве, ассимилировав новейшие математические идеи о неевклидовой геометрии, о проективной геометрии, о принципе относительности". Но при этом Лапшин (вслед за Махом) подчеркивает, что вера, к примеру, в абсолютную реальность атомов или иные фиктивные конструкции — есть своеобразная современная мифология."

От Владимир(Н-ск)
К Almar (26.10.2001 11:21:59)
Дата 26.10.2001 18:59:48

А еще есть возможность с академиком А.Д. Александровым поспорить...



>Воспользуюсь тем, что любезно предоставил And

>===========
>Сочинение Евклида открывается перечнем определений. Приведем некоторые из них, сохранив нумерацию, принятую в оригинале.
>"Определения.
>…….
>23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолженным
>ми в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с
>другой стороны между собой не встречаются.
>============

ЦИТАТА
====
Сам Евклид (IV в. до н. э.) принимал в качестве аксиомы параллельных следующее предложение (у Евклида оно было "пятым
постулатом") :

Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при
неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

==========
ТУПОСТЬ И ГЕНИЙ А. Д. Александров, академик АН СССР «Квант», №№11, 12, 1982

http://univer.omsk.ru/LGS/ad_papers/ad_kvant.htm

От Almar
К Владимир(Н-ск) (26.10.2001 18:59:48)
Дата 29.10.2001 18:49:28

Re: А еще

Спасибо за ссылку. Вся проблема подобных споров и парадоксов в том, что они затрагивают облать глубокой философии (о чем кстати упоминается в статье).

>Нельзя удивляться, что новая геометрия могла казаться невозможной. Посмотрите на рисунок 3: ясно, что прямая СМ, если ее достаточно далеко продолжить, обязательно пересечет прямую АВ. Допущение, будто через одну точку проходят две прямые, параллельные данной, совершенно противоречит наглядному представлению. Такое допущение кажется просто нелепым. Никакой неевклидовой геометрии быть не может!
>Тем более нужно отдать должное смелости мысли Лобачевского и Больяи, которые решились допустить "нелепость". Нелепость с точки зрения наглядного представления - да, но с точки зрения логики - другое дело. Как ни кажется наглядно нелепым допущение многих параллелей, логически оно допустимо. Нужна была большая смелость мысли, чтобы твердо убедиться в этом, хотя теперь, когда найден простой смысл неевклидовой геометрии, никакой смелости мысли не нужно - достаточно самой небольшой способности к отвлеченному мышлению.

Автор пишет == наглядно нелепым допущение многих параллелей, логически оно допустимо==, не понимая, что суть законов логики как раз и состоит в определенных пространственных наглядных представлениях человека. Закон «ни одно А не есть не-А» просто показывает, что ни один предмет в пространстве не может одновременно находиться и не находиться в одних координатах. Геометрия Лобачевского может существовать как воображаемая и даже может быть внутри логичной, кроме фундаментальной нелогичности ее основной аксиомы. Бессмысленно пытаться доказать или опровергнуть пятый постулат Евклида основываясь на Аристотелевой логике, ведь этот постулат сам есть логика, поэтому это будет круг в доказательстве.
Поэтому прав был Кант:

>И дошло, наконец, до того, что в 1781 г. великий философ Кант в своей "Критике чистого разума" счел геометрию априорной - независимой от опыта - и основал на этом вывод об априорности самого пространства, которое для него - не форма, присущая миру, а только форма нашего восприятия, форма "наглядного созерцания".

От Владимир(Н-ск)
К Almar (26.10.2001 11:21:59)
Дата 26.10.2001 18:52:09

Нет. Это постулат. А постулат это не аксиома. А определение - не утверждение.

"Самые общие свойства фигур, которые многократно используются в рассуждениях и не выводятся из более глубоких фактов - эти свойства
Евклид назвал аксиомами. Например: "Все прямые углы равны между собой", или "Целое больше части".

Кроме аксиом, Евклид ввел ПОСТУЛАТЫ: это утверждения о свойствах основных геометрических конструкций. Например: "Через две точки
проходит лишь одна прямая", или "Через точку вне прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая эту прямую". Это
последнее утверждение называют пятым постулатом Евклида."

http://sch57.msk.ru:8101/collect/smgrec2.htm

Вот еще, указание на отличную от современной ментальность Евклида:
"По-видимому, Евклид понимал важность выделения линейной сущности "прямых", но его аксиоматика устроена иначе - с ориентацией на визуальную семантику, а не на
аналитические отношения. Поэтому он и ввел 5-й постулат, чтобы, с одной стороны, выделить линейную специфику прямых, а с другой стороны - выдержать специфику
визуальной лингвистики. Те математики, которые впоследствии пытались "доказать" 5-й постулат, несомненно, не воспринимали его как специфическое доопределение
линейных свойств прямых линий.
"
http://www.biophys.msu.ru/awse/confer/NLW99/096.htm

Наберите в yndex.ru ключевые слова типа "Евклид параллельные прямые постулат"...
Масса интересных ссылок...

С уважением.
От quest
К Almar (26.10.2001 11:21:59)
Дата 26.10.2001 12:33:08

Re: Немного разъяснений.

Hi!

>Итак, как я и предполагал то, что параллельные прямые не пересекаются - это определение или аксиома.

Нет не аксиома, а просто НАЗВАНИЕ!
"Если две прямые на плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными прямыми" (с).

>В связи с этим могу поделиться некоторыми субъективными мыслями. Я ведь так же как и вы вовсе не читал Евклида и практически забыл изложение школьного курса геометрии. Кстати, возможно, тамошние сведенья о парал. прямых отличаются от евклидовских. Но отличаться они могут лишь нюансами. суть же должна оставаться той же. Я был в этом уверен, когда спорил с вами, не по самонадеянности, а потому, что достаточно хорошо (в силу специфики образования) разбираюсь в философских основаниях логики. Поэтому для меня наличие геометрии Лобачевского никогда не станет основанием сомневаться, что черное не может быть белым, а параллельные прямые не пересекаются в том реальном мире, который человек в состоянии познавать. В виртуальных мирах научного моделирования параллельные прямы могут пересекаться сколько угодно, но…

Здесь наличествует некоторое заблуждение.
Параллельные прямые не могут пересекаться, даже в "виртуальных мирах", ибо, если они пересекаются, то назвать их параллельными никак нельзя.

Отличия планиметрий (геометрия на плоскости) Евклида, Лобачевского-Бойяи и Римана заключается в следующем:
1. В планиметрии Евклида (это постулируется или, если хотите - аксиоматизируется, или прямо следует из аксиом) через точку ВНЕ прямой на плоскости можно провести ОДНУ и только одну прямую, параллельную данной.
2. В планиметрии Лобачевского-Бойяи через точку вне прямой на плоскости можно провести СКОЛЬКО УГОДНО РАЗЛИЧНЫХ прямых, параллельных данной. И это - аксиома, или прямо следует из аксиом.
3. А в планиметрии Римана через точку вне прямой НЕЛЬЗЯ провести НИ ОДНОЙ прямой, параллельной данной. И это утверждение тоже аксиоматизируется.

Это три РАЗНЫЕ геометрии, с разными свойствами и разными наборами аксиом.

Best regards, Quest.
От Ольга
К Владимир(Н-ск) (25.10.2001 11:46:14)
Дата 26.10.2001 01:39:15

За разъяснения спасибо. (-)