Форум С.Кара-Мурзы

	От	Борис Загреев
	К	Дмитрий Кобзев
	Дата	22.06.2001 19:27:59
	Рубрики	Россия-СССР;

Re: Некоторые замечания...

>2.Хотелось бы видеть более подробное обоснование следующего заявления автора:
>"Однако, согласно теореме Фробениуса-Перрона, если полуположительная (неотрицательная и не имеет нулевых строк и столбцов) матрица A неразложима, то существуют наибольшее по модулю число k > 0 (которое называют числом Фробениуса) и соответствующий положительный вектор P, решающие уравнение (1). Более того, можно показать, что все возможные положительные собственные вектора (а только такие нас и интересуют, т.к. цена любого товара должна быть положительной) этой матрицы принадлежат этому числу Фробениуса, т.е. с точностью до множителя совпадают друг с другом. Таким образом получаем, что решение уравнения (1) не только существует, но и единственно, что, вообще говоря, было не очевидно. "
>Что такое 'разложимость' матрицы? Что означает
>'неотрицательность' матрицы?
>Для определителей есть теорема о разложимости, а что такое разложимость матрицы?
>Как автором доказывается разрешимость системы (1)?

Матрица А называется неразложимой, если ее путем перестановки строк и столбцов нельзя привести к виду:
А1 А2
0 А3
Это означает, что не существует группы изолированных отраслей, т.е. отраслей, не нуждающихся в товарах, производимых вне этой группы. Т.е. данную экономику нельзя разбить на несколько не связанных между собой экономик.
Неотрицательность означает просто, что все элементы матрицы больше или равны нулю.
Разрешимость системы уравнений как раз и доказывается теоремой Фробениуса-Перрона. Есть другой вариант теоремы, не требующий неразложимости, но тогда решение может быть не единственным и не положительным.
Подробнее можете посмотреть любой учебник по математической экономике, например:
Колемаев В.А. "Математическая экономика: Учебник для вузов." - М.: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. "Математика в экономике: Учебник" - М.: Финансы и статистика, 2000. - 224 с.
Казанцев С.В. "Теоретические модели цен (критический анализ буржуазных концепций)." - Новосибирск: Наука, 1987.

>3.В канонической форме выражение для определения собственных векторов и собственных значений имеет вид A*x=k*x, где большая буква указывает на использование матрицы, а маленькие буквы - векторы-столбцы.
>В том виде, как приводит выражение "k * P = P * A (1)" автор, в правой части содержит произведение матрицы размерностью 1xN (вектор-строка цен P) на матрицу размерностью NхN (технологическая матрица A). Эти матрицы не являются сцепленными (число столбцов первой не равно числу строк второй), т.е., операция умножения для них не определена. Чтобы исправить ситуацию, выражение (1) должно быть переписано в виде
>k * p = A * p (1) и вектор-строка цен P должна именоваться вектором-столбцом цен P, содержащим цены для каждого i-го товара. k - просто числовой коэффициент.
>Для выражения X= A * X (3) условие сцепленности выполняется без преобразований, но большие буквы X должны быть заменены на маленькие x=A*x (3) для избежания путаницы.

Уравнение (1) записано правильно. Перемножать можно матрицу на столбец при одинаковом числе строк. Либо строку на матрицу (строка слева, матрица справа) при одинаковом числе столбцов. Если же вы хотите переписать (1) в каноническом виде, как вы говорите, то вместо матрицы А надо взять ТРАНСПОНИРОВАННУЮ матрицу. Это важно. Если и вектор цен в уравнении (1) и вектор объемов выпуска товаров в уравнении (3) - это вектора-СТОЛБЦЫ, то матрица А в уравнении (3) - прямая, а в уравнении (1) - транспонированная.
Но я использовал стандартную форму записи, принятую в литературе, когда цены - это вектор-строка. А большие Х действительно лучше заменить на маленькие.

>4.Рассмотрим решение характеристического уравнения для системы (1) (I-единичная матрица, размерности, совпадающей с A, на главной диагонали (c индексами i=j) - единицы, все остальные элементы - нули; det -операция вычисления детерминанта матрицы; вычитание одной матрицы из другой сводится к вычитанию из каждого элемента Aij элемента k*Iij, где Iij равно 0 или 1 (для всех i=j); при вычислении детерминанта получится уравнение порядка, совпадающего с размерностью матрицы A, равным N, т.е. квадратное для двух товаров, кубическое для трех и т.д.; решая это уравнение найдем набор собственных значений k - как корней уравнения, среди которых нас устроят положительные значения. Для каждого найденного положительного k можно решить систему (1) и найти вектор-столбец цен P; - небольшие пояснения для тех, кто хотел бы освежить в памяти начала линейной алгебры :),
>Уравнения автора:
> k*x=A*x (1)
> det(A-kI)=0 (2)
> x=A*x (3)

>При решении уравнения (2) потребуется выполнять массу алгебраических преобразований над элементами матрицы A.
>При этом следует рассмотреть вопрос о размерности элементов этой матрицы, так как от их размерности зависит, можно ли их использовать совместно в выражениях. Когда технологическая матрица рассматривается сама по себе - такого ограничения не возникает - интуитивно понятно, что, скажем, для производства утюгов необходимо 0.5 кг стали, 0.3 м. провода и т.д. и можно составить и работать с соответствующей матрицей.
>Но вот когда мы попытаемся выполнять некие преобразования, в которые вовлекаются элементы матрицы A (при решении системы уравнений (1), например), чтобы не допустить исчезновения физического смысла полученного решения - требуется, чтобы элементы матрицы A имели одинаковую размерность.

Эти элементы - БЕЗРАЗМЕРНЫ. Это штуки, количество. Физический смысл мы вкладываем в товар. Например, мы определим i-й товар как 1 кг стали, а j-й - как 1 метр провода. Тогда соответствующие элементы матрицы А - это 0.5 и 0.3 (из вашего примера). Это безразмерные числа.