|
|
От
|
quest
|
|
|
К
|
And
|
|
|
Дата
|
19.06.2001 00:03:29
|
|
|
Рубрики
|
Россия-СССР;
|
|
Гедель очень удивился бы!
Hi!
Извините, что вмешиваюсь, но Вы вводите местное общество в заблуждение.
>Двумя словами: теоремы Геделя показывают крах формального подхода даже в самой математике.
Немного не так. Математика и до Геделя и после него использует формальный подход весьма успешно. Краха не наблюдается. А наблюдается исключительно быстрое развитие именно наиболее формализированных абстрактных разделов математики: теория моделей, теория чисел, теория алгоритмов, формальная алгебра, топология и т.д.
>Теорема Геделя о неполноте показывает, что никакая система аксиом не содержит всех аксиом для доказательства.
Опять не так. Во-первых, выражение: "не содержит всех аксиом для доказательства" - не имеет смысла, ибо не существует просто "доказательства", а всегда речь идет о доказательстве чего-то конкретного. А во-вторых, Гедель четко указывает, какие именно системы аксиом неполны.
>Любая система аксиом неполная.
Данное утверждение имеет логическое значение false.
Пример: система аксиом Евклидовой планиметрии (которую все изучали в школе) - полна.
Гедель доказал, что в любой аксиоматической теории, ВКЛЮЧАЮЩЕЙ В СЕБЯ АКСИОМЫ ФОРМАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ, существует утверждение, которое в рамках этой теории нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Это в чистом виде теорема существования! Доказывается существование объекта, но сам объект не указывается, как не указывается и способ его построения.
В той же арифметике, конечно, есть кандидаты не роль недоказуемых утверждений. Например, долгое время многие математики подозревали, что Большую Теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Ведь ее около двухсот лет пытались доказать лучшие математики мира. И, - безуспешно. А четыре года назад она была доказана! В отдельных разделах математики (аксиоматических теориях), удовлетворяющих условиям теоремы Геделя о неполноте, найдены недоказуемые утверждения. Но далеко не во всех.
Более того, из той же теоремы Геделя следует, что можно расширить аксиоматическую теорию, как недоказуемым утверждением, так и его отрицанием, БЕЗ УЩЕРБА ДЛЯ ТЕОРИИ! Что говорит просто об отсутствии пределов развития таких теорий.
Согласитись, что это несколько отличается от:
>То есть истина, возможно, и есть, но формально и строго обосновать ее существование нельзя.
Не стоит, так вольно с математикой! Это - не политология :-)
Best regards, Quest.