Вот ссылка на Успенского: http://enoth.narod.ru/Crusades/Crusade_Usp00.htm
Он описывает событие относительно кратко и ссылки на первоисточник в данном случае, к сожалению, тоже не дает.
В то же время мы имеем книгу А.Колина, написанную на 100 лет позже, и огромное количество статей в российских и зарубежных сетях, указывающих в качестве даты 3 июня. Вот еще один пример: http://templiers.narod.ru/pohod/velikie_sobytiya/v_s_osada_antiohii_1097-1098_.html
Он любопытен тем, что в числе использованых источников фигурирует и Ф.Успенский, однако дату авторы статьи взяли все-таки не у него. Одна на всех случайная ошибка?
Ммм-да. Будем дальше искать.
Вот первоисточник: "Gesta Francorum" (Anonymus), Книга VIII.
"All das ereignete sich am dritten Juni, welcher ein Donnerstag war" - "Все это случилось третьего июня, в четверг". http://www.adventuresailing.de/Gesta/gesta1.htm