Ну во-первых в современной Монголии детей называют именем, возможно возникающим таким образом, как описал Марат, а вот фамилию дают по имени соответствующего родителя (например Барамсай Оюнгирель - девушка, где Барамсай - имя, а Гирель - имя её матери, по мужикам фамилии не уточнял, но они похожи на мужские имена).
А во-вторых по поводу рыси, буква "а" раньше во многих случаях выражала отрицание, возможно, что "арысь" - место, свободное от рыси (освобождённое) т.е. спокойное, без хищников.
С уважением, Роман.
